CIR ampliado y discretización

Question

Alguien sabe cómo discretizar este proceso de manera eficiente :

$dX(t) = \kappa [\theta(t)-X(t)]dt + \sigma \sqrt{X(t)}dW(t)$

Estoy buscando algo más sofisticado que el trivial esquema de Euler :

$X(t_{k+1}) =X(t_{k}) + \kappa[\theta(t_k)-X(t_{k})]\Delta t + \sigma \sqrt{X(t_{k})}\Delta_k W$

Gracias de antemano,

Answer 1

Plan Milstein

Este esquema se describe en Glasserman (2003) y en Kloeden y Platen (1992) Por lo tanto, para simplificar, podemos suponer que el proceso estocástico se rige por la SDE \begin {align} &dX_t= \Xi (t,X_t)dt+ \Sigma (t,X_t)dW_t \\ \end {align} La discretización de Milstein es, \begin {align} dX_{t+ \Delta t}=X_t+ \Xi (t,X_t)dt+ \Sigma (t,X_t) \sqrt { \Delta t},Z+ \frac {1}{2} \Sigma (t,X_t) \frac { \partial\Sigma (t,X_t)}{ \partial X_t} \Delta t(Z^2-1) \ \end {align} donde Z es una variable normal estándar. Los coeficientes del proceso C.I.R son \begin {align} \Xi (t,X_t) = \kappa ( \theta (t) - X_t) \end {align} y \begin {align} \Sigma (t,X_t) = \sigma\sqrt X_t \end {align} por aplicación del esquema de Milstein, tenemos

\begin {align} dX_{t+ \Delta t}=X_t+ \kappa ( \theta (t) - X_t) \Delta t+ \sigma\sqrt { \Delta t \,X_t}\Nde Z+ \frac {1}{4} \sigma ^2 \Delta t(Z^2-1) \end {align} Otros métodos son los siguientes

1. Esquema de volatilidad transformada
2. Régimen IJK
3. Método exponencial cuadrático