Problema de maximización en una empresa multiproducto

Question

Actualmente estoy leyendo el libro "Microeconomía: Principios y Análisis" de Cowell por mi cuenta. Me interesa la sección de la empresa multiproducto, pero estoy confundido con el uso de la función de beneficios. En concreto, sobre cómo plantear el objetivo del problema de maximización. Aquí un ejemplo con dos bienes $x$ y $y$ , dos factores $k$ y $l$ y dos funciones de producción Cobb-Douglas.

\begin {Ecuación} \begin {array}{l} \text {Max} \quad \pi =p_{x}q_{x}+p_{y}q_{y}-w(l_{x}+l_{y})-v(k_{x}+k_{y}) \\ \text {sujeto a:} \\ q_{x} \leq k_{x}^{ \alpha }l_{x}^{ \beta } \\ q_{y} \leq k_{y}^{ \gamma }l_{y}^{ \delta } \\ L=l_{x}+l_{y} \\ K=k_{x}+l_{y} \end {array} \end {Ecuación}

¿Estoy planteando bien la pregunta? ¿Cómo son las condiciones de primer orden?

Answer 1

La pregunta "¿cómo son las condiciones de primer orden?" me parece muy poco clara, y estoy proporcionando una configuración para encontrarlas y escribirlas, a la vez que explico las condiciones de Kuhn-Tucker que son fáciles de combatir.

Aunque intentamos evitar regalar las respuestas de las preguntas básicas de estudio, es una pregunta votada positivamente sin respuesta, y sigo pensando que estas preguntas tienen valor para los futuros usuarios. Además, ha pasado suficiente tiempo como para que no haya riesgo de ayudar a alguien a superar una clase, si esa era la intención.

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Por lo general, en los problemas de minimización de costes en los que la función de producción es una restricción, hay una cantidad establecida que debe producirse y que lleva a minimizar el coste con respecto a ella. Aquí, en este problema de maximización de beneficios, se tiene una cantidad mínima de producción requerida de ambos bienes, lo que me parece interesante.

Podemos observar que la función objetivo (beneficio) es lineal, y por tanto cóncava y diferenciable. Las restricciones son más interesantes porque la forma Cobb-Douglas no es necesariamente cóncava, concretamente cuando los exponentes suman más de 1. Así que podemos preguntarnos cuándo las restricciones serán convexas (ciertamente son diferenciables). Estas ideas están relacionadas con la suficiente condiciones para un óptimo. Una solución existe por el Teorema de Weierstrass (la restricción es compacta y la función objetivo es continua).

Para ver el primer orden necesario condiciones, podemos omitir sus dos últimas igualdades ya que no aportan nada. Tomamos:

\begin {Ecuación} \begin {array}{l} \max_ {q_{x}, q_{y}, l_{x}, l_{y}, k_{x}, l_{x}} \quad p_{x}q_{x}+p_{y}q_{y}-w(l_{x}+l_{y})-v(k_{x}+k_{y}) \\ \text {s.t.} \\ q_{x} - k_{x}^{ \alpha }l_{x}^{ \beta } \leq 0 \\ q_{y} - k_{y}^{ \gamma }l_{y}^{ \delta } \leq 0 \\ \end {array} \end {Ecuación}

Forma el Lagrangean:

$$\max \quad \mathscr{L} = p_{x}q_{x}+p_{y}q_{y}-w(l_{x}+l_{y})-v(k_{x}+k_{y}) - \mu_x (q_{x} - k_{x}^{\alpha}l_{x}^{\beta}) - \mu_y (q_{y} - k_{y}^{\gamma}l_{y}^{\delta})$$

(nótese los signos delante de los multiplicadores de Lagrange)

Entonces, en lugar de la derivada con respecto a los multiplicadores, tenemos nuestras restricciones con condiciones de holgura complementarias. Tomamos también las otras restricciones.

$$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \ ( \cdot )} \leq 0 \quad ; \quad ( \cdot ) \geq 0 \quad \forall ( \cdot )$$ $$\text{constraint} \quad ; \quad \mu_{(\cdot)} \geq 0$$

Y a partir de ahí puedes pasar a resolver el sistema, pero puedes encontrarte en un punto raro porque no hemos podido establecer singularidad .