La dinámica
\begin{align*}
\frac{dS_t}{S_t} =\mu dt + \sigma dW_t.
\end{align*}
es bajo en el mundo real de la medida $\mathbb{P}$. A continuación,
\begin{align*}
d\ln S_t =\Big(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \Big) dt + \sigma dW_t.
\end{align*}
Por lo tanto,
\begin{align*}
\ln S_T = \ln S_t + \Big(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \Big)(T-t) + \sigma \big(W_T-W_t\big).\la etiqueta{1}
\end{align*}
Para obtener la dinámica bajo la neutrales al riesgo probabilidad de medida $\mathbb{Q}$, empleamos el Radon-Nikodym derivados
\begin{align*}
\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\big|_{\mathcal{F}_t} = \exp\left(-\frac{1}{2}\lambda^2 t + \lambda W_t \derecho),
\end{align*}
donde $\lambda = (r-\mu)/\sigma$ es el mercado de la prima de riesgo. Entonces, del teorema de Girsanov, el proceso de $\{\widehat{W}_t, t \ge 0\}$, donde
$$\widehat{W}_t = W_t -\lambda t,$$
es un estándar de movimiento Browniano con arreglo a la medida $\mathbb{Q}$. Por otra parte, en virtud de la medida $\mathbb{Q}$,
\begin{align*}
\frac{dS_t}{S_t} &=\mu dt + \sigma dW_t\\
&=rdt + \sigma d\widehat{W}_t.
\end{align*}
En consecuencia, similares a los de $(1)$ de arriba,
\begin{align*}
\ln S_T = \ln S_t + \Big(r-\frac{1}{2}\sigma^2 \Big)(T-t) + \sigma \left(\widehat{W}_T-\widehat{W}_t\derecho).\la etiqueta{2}
\end{align*}
Tenga en cuenta que, en $(1)$ y $(2)$, la Browniano mociones $W$ y $\widehat{W}$ son diferentes.
