Martingala Enfoque
Como usted ha dicho, usted necesita para resolver
\begin{eqnarray}
F(0) & = & e^{-r T} \mathbb{E} \left[ \left( X_T - K \derecho)^2 \derecho]\\
& = & e^{-r T} \left( \mathbb{E} \left[ X_T^2 \derecho] - 2 K \mathbb{E} \left[ X_T \derecho] + K^2 \derecho)
\end{eqnarray}
Vamos A $Y_t = X_t^2$. Luego, mediante la aplicación de la Itō fórmula, obtenemos
\begin{eqnarray}
\mathrm{d}Y_t & = & 2 X_t \mathrm{d}X_t + \mathrm{d} \langle X \rangle_t\\
& = & \left( 2 r + \sigma^2 \derecho) Y_t \mathrm{d}t + 2 \sigma Y_t \mathrm{d}W_t.
\end{eqnarray}
De ello se sigue que
\begin{eqnarray}
\mathbb{E} \left[ X_T \derecho] & = & X_0 e^{r},\\
\mathbb{E} \left[ X_T^2 \derecho] & = & X_0^2 e^{\left( 2 r + \sigma^2 \derecho) T}.
\end{eqnarray}
En consecuencia,
\begin{ecuación}
F(0) = e^{-r T} \left( X_0^2 e^{\left( 2 r + \sigma^2 \derecho) T} - 2 K X_0 e^{i T} + K^2 \derecho).
\end{ecuación}
PDE Enfoque
Alternativamente, usted puede solicitar un cambio de variables para el PDE. Definir
\begin{ecuación}
\tau = (T - t), \quad \xi = r - \frac{1}{2} \sigma^2, \quad y = \ln(x) + \xi \tau, \quad F(t, x) = e^{-i \tau} G(\tau, y).
\end{ecuación}
Después de una cuidadosa aplicación de la regla de la cadena, obtenemos el PDE
\begin{ecuación}
\frac{\partial G}{\parcial \tau} = \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 G}{\partial y^2}
\end{ecuación}
con condición inicial
\begin{ecuación}
G(0, y) = \left( e^y - K \derecho)^2.
\end{ecuación}
La solución fundamental es el calor del núcleo dada por
\begin{ecuación}
\phi(\tau, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 \tau}} \exp \left\{ -\frac{y^2}{2 \sigma^2 \tau} \right\}.
\end{ecuación}
Obtenemos $G(\tau, y)$ a través de la convolución
\begin{eqnarray}
G(\tau, y) & = & \int_{-\infty}^\infty G(0, z) \phi(\tau, y - z) \mathrm{d}z\\
& = & \int_{-\infty}^\infty \left( e^{2 z} - 2 K e^z + K^2 \derecho) \phi(\tau, y - z) \mathrm{d}z.
\end{eqnarray}
La próxima nota de que para algunos $\alpha \in \mathbb{R}$,
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty e^{\alpha z} \phi(\tau, y - z) \mathrm{d}z & = & e^{\alpha y + \alpha^2 \sigma^2 \tau / 2}
\end{eqnarray}
Así
\begin{ecuación}
G(\tau, y) = e^{2 y + 2 \sigma^2 \tau} - 2 K e^{y + \sigma^2 \tau / 2} + K^2
\end{ecuación}
y la sustitución de los rendimientos de la espalda
\begin{ecuación}
F(0, x) = e^{-r T} \left( x^2 e^{\left( 2 r + \sigma^2 \derecho) T} - 2 K x e^{i T} + K^2 \derecho)
\end{ecuación}
como antes.
