Lineal-Cruzar los Límites Problema para el Movimiento Browniano

Question

Esta es una pregunta que me encontré durante la lectura:

$W = (W_t)_{t\geq{0}}$ es un estándar BM.

Deje que $\mu\in \mathbb{R}$, y dejar que $\tau_{a}^{\mu}$ = $\inf(t>0;W_t = a + \mu{t})$ ser el primer paso del tiempo de un BM para el límite de $a+\mu{t}$.

Me gustaría saber:

1. la transformada de Laplace de $\tau_{a}^{\mu}$;

2. la probabilidad de $\mathbb{P}(\tau_{a}^{\mu} < \infty)$.

Estoy pensando en usar el Teorema de Girsanov para transformar el BM. Todas las soluciones de la recepción.

Answer 1

Pregunta 2 tiene una recta hacia adelante utilizando la solución de una ecuación diferencial de enfoque: $\mathbb{P}(\tau^\mu_a<\infty)=1$ El siguiente enlace (páginas 21 f.) lo explica muy bien (y es también muy detallado) - no podría escribir mucho mejor. Si usted fuera a google "movimiento browniano lineal límite" obtendrá los resultados adicionales.

También si usted está interesado en general en este tipo de problema puedo recomendar el siguiente documento sobre Ecuaciones Integrales y el primer paso del tiempo de BM. Contiene una breve revisión de la literatura y ofertas, con un carácter más general boundry.

Pregunta 1 principalmente implica encontrar la función de densidad para $\tau^\mu_a$ Esta densidad es también conocido como el Bachelier-Levy, de la fórmula (ver también aquí)

$p(t)=\frac{a}{t^{3/2}}\Phi(\frac{a+\mu t}{\sqrt{t}})$ con $\Phi(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2t}$

La inserción de este resultado en la fórmula general para la transformada de laplace, se obtiene: $\mathcal{L}(\tau^\mu_a)(s)=\mathbb{E}[e^{-s \tau^\mu_a}]=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-sx}p(x)dx$

El resultado deseado, a continuación, sigue recto hacia adelante la integración.