La siguiente es una pregunta específica que es útil para la demostración de una idea general.
Considere el siguiente modelo autorregresivo: $$ X_{t+1} = \alpha_0 + \beta_0 (X_t - \alpha_0) + W_{t+1}, $$ donde $-1 < \beta_0 < 1$ y $W_{t+1}$ se distribuye como una normal con media cero y varianza uno.
¿Cómo debo ir sobre la construcción de la bivariante puntuación de proceso asociados con los parámetros de $\alpha_0$ y $\beta_0$? ¿Cómo puedo verificar que es una martingala?
Progreso:
Me gustaría empezar por la construcción de la log-verosimilitud proceso de la siguiente manera (acondicionado en $X_0$): $$ \ell_t(\theta \mid \textbf X) = -\frac t2 \ln(2 \pi) - \frac 12 \sum_{j=1}^t (X_j - \alpha_0 - \beta_0(X_{j-1} - \alpha_0))^2. $$ Entonces, la puntuación de proceso puede ser construido como $$ s_t(\theta \mid \textbf X) = \begin{bmatrix} (1 - \beta_0) \sum_{j=1}^t (X_j - \alpha_0 - \beta_0(X_{j-1} - \alpha_0)) \\ \sum_{j=1}^t (X_j - \alpha_0 - \beta_0(X_{j-1} - \alpha_0)) (X_{j-1} - \alpha_0) \end{bmatrix}. $$ Es esto correcto? ¿Cómo debo proceder?
