Comparación de la reducción esperada por el movimiento browniano y los resultados simulados

Question

¿Alguien puede decirme si los resultados predichos por el Movimiento Browniano para una media y una std dadas, coinciden con lo que se obtiene midiendo la reducción real de los resultados simulados a lo largo de un número de iteraciones?

Answer 1

Echa un vistazo al siguiente documento sobre la distribución de la Reducción Máxima:

Sobre la máxima reducción de un movimiento browniano

Los autores terminan con una serie aproximada para la densidad. Se implementa en la función maxdd del paquete R fBasics . Hay funciones convenientes dmaxdd , pmaxdd y rmaxdd . Calcular la reducción esperada debería ser fácil.

Sólo tiene que comparar sus resultados con la salida de este paquete (media, cuantiles, etc.) y debería estar bien.

En realidad, no es necesario "simular" las depresiones de un movimiento browniano, basta con tomar muestras aleatorias con rmaxdd .

Cuando dice "coincidir" o "acercarse", ¿se refiere probablemente a que las medias convergen si el tamaño de la muestra aumenta?

Por la ley de los grandes números, las medias de las reducciones máximas muestreadas convergerán a la reducción máxima esperada (aunque la convergencia puede ser lenta, especialmente si la distribución no tiene varianza finita). En realidad, las distribuciones empíricas se "acercan" a la distribución de las detracciones máximas.

Answer 2

Es muy sencillo,

Una de las propiedades del movimiento browniano (también conocido como proceso de Wiener en matemáticas) es que cada incremento de s->t se distribuye normalmente con media = 0 y sd = t-s.

Por lo tanto, si el proceso que impulsa sus resultados simulados es ~N(0, t-s) distribuido para cada incremento s->t con 0<=s<=t, entonces sí, sus reducciones simuladas deberían coincidir con las predichas por un proceso de Wiener (uno impulsado por un movimiento browniano). En caso contrario, no.