El arbitraje de límites de Black-Scholes

Question

En algunos volatilidad implícita código me llegó a través de, no es una comprobación para asegurarse de que no hay violación del arbitraje de límites en función de las entradas para el método.

Para la opción de compra, si

$$P < 0.99 * (S-K*e^{-t*r})$$

(donde $P$ es el precio de mercado de la opción y $S, K, t $ y $r$ son precio del subyacente, precio de ejercicio, tiempo hasta la madurez y la velocidad, respectivamente), a continuación, el precio de entrada para el método viola el obligado y el método devuelve.

¿Cuál es la prueba comparable para una opción put y cómo se deriva?

Answer 1

Para una opción call, la rentabilidad está dada por $(S_T-K)^+$. Tenga en cuenta que la función $x^+$ es convexa, entonces, por la desigualdad de Jensen, el precio $c$ satisface \begin{align*} c &= e^{-rT}E\big((S_T-K)^+\big) \\ & \geq e^{-rT}\big(E(S_T-K)\big)^+\\ &=\big(S_0 - K \, e^{-rT}\big)^+. \end{align*} Para el límite superior, tenga en cuenta que \begin{align*} c &= e^{-rT}E\big((S_T-K)^+\big) \\ &< e^{-rT}E\big(S_T\big) \\ &=S_0. \end{align*} Es decir, \begin{ecuación} \big(S_0 - K \, e^{-rT}\big)^+ \leq c < S_0 . \end{ecuación}

Del mismo modo, para una opción de venta, la rentabilidad está dada por $(K-S_T)^+$. El precio de $p$ a continuación, responde a \begin{align*} p &= e^{-rT}E\big((K-S_T)^+\big) \\ & \geq e^{-rT}\big(E(K-S_T)\big)^+\\ &=\big(K \, e^{-rT}-S_0\big)^+. \end{align*} Para el límite superior, tenga en cuenta que \begin{align*} p &= e^{-rT}E\big((K-S_T)^+\big) \\ &< e^{-rT}E\big(K\big) \\ &=K \, e^{-rT}. \end{align*} Es decir, \begin{ecuación} \big(K \, e^{-rT}-S_0\big)^+ \leq p < K \, e^{-rT}. \end{ecuación}

Answer 2

La No-Arbitraje de los límites de un espacio Europeo de poner son:

$$ (Ke^{rT}-S)^+ \leq P \leq K e^{-rT}$$

Esto es debido a que el máximo rendimiento al vencimiento es de $K$ (con descuento) y el valor mínimo es el descuento del valor intrínseco (desde $E(e^{-rT}S_T)=S_t$ por la martingala condición y la rentabilidad de ser siempre semi-positiva).

Answer 3

usted puede hacer de los límites sin el uso de un modelo o martingales. En la madurez $$ 0 \leq C \leq S_T $$ con probabilidad positiva estricta de las desigualdades. Así que antes de la madurez, $$ 0 < C < S_t. $$ Pues si estos son violados, usted puede hacer un arbitraje. por ejemplo, si $C \geq S_t$ mantener $S_t - C$ a obtener un beneficio con probabilidad positiva y no hay posibilidad de pérdida.

Del mismo modo, si $B_T$ es un bono cupón cero que expiran en $T,$ entonces tenemos $$ S_T - KB_T \leq C $$ en el tiempo $T$ y antes de la madurez, tenemos $$ S_t - KB_T(t) < C. $$ Que es $$ S_t - Ke^{-r(T-t)} < C < S_t $$ y positivo.

(ver mi libro de conceptos para más discusión.)