En el artículo de Wikipedia sobre el Black-Litterman modelo, se establece que la motivación detrás del modelo es que "es difícil llegar a una estimación razonable de los rendimientos esperados." ¿Por qué es que los rendimientos esperados son difíciles de estimar, mientras que las covarianzas no?
Respuestas
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Su pregunta se refiere más ampliamente a la moderna teoría de la cartera, y puede ser ilustrado a través de media-varianza de un análisis univariado de series de tiempo. La extensión para el multi de la variable aleatoria (normal), es trivial. A continuación yo uso el término exactitud, en un no-formal, en relación a la varianza de un estimador. En particular, cuando la varianza de un estimador puede ser reducido, esto significa que el estimador puede ser más precisa.
Cuento corto: La varianza del estimador de la varianza de los retornos pueden reducirse mediante la adopción de las observaciones (más finas observaciones - hasta un límite), mientras que esto no es cierto para la varianza del estimador de los retornos esperados. En este sentido, es más difícil para la precisión de la estimación esperado (media) devuelve en comparación con la varianza de los rendimientos.
Para ver por qué, considere la posibilidad de un tiempo de la serie de los retornos, y asumir la media (por unidad de tiempo), $\mu$, y de la varianza (por unidad de tiempo), $\sigma^{2}$ son constantes sobre la no superposición de tiempo de los intervalos de frecuencia $h$. Aquí, $h$ representa diario o mensual, o por períodos trimestrales, etc. Suponga que nuestros datos de series de tiempo son las observaciones sobre los intervalos de tiempo de longitud $\Delta$, donde $\Delta<<h$. Luego, se definen $n=h/\Delta$, como el número de observaciones de los rendimientos durante un intervalo de tiempo de $h$.
Para el $k^{\text{th}}$ intervalo de observación (de longitud $\Delta$) durante un período de longitud $h$, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el precio de proceso de un activo es dado por la $$S_{k+\Delta}=S_{k}\exp{(\mu\Delta+\sigma \sqrt{\Delta} \epsilon_{k})},$$ donde $\epsilon_{k}$ son iid normal. El logarítmica de retorno (en el período $\Delta$) puede ser escrita como $$X_{k}=\mu\Delta+\sigma \sqrt{\Delta} \epsilon_{k}.$$ Para la media y la varianza de la teoría de cartera, se requieren estimaciones de los verdaderos valores de $\mu$ y $\sigma$, ya que son de curso, desconocido. Llamar a estos estimadores $\hat{\mu}$ y $\hat{\sigma}$. Para responder a su pregunta, sólo tenemos en cuenta las propiedades de los estimadores.
Primero $$\hat{\mu}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}/h, \quad \mathbb{E}(\hat{\mu})=\mu \quad \text{Var}(\hat{\mu})=\sigma^{2}/h.$$
Es importante destacar que, la varianza de $\hat{\mu}$, depende de la longitud total del período de observación y no en el número de observaciones.
Ahora considere, la (parcial) estimador para $\sigma$: $$\hat{\sigma}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}/h, \quad \mathbb{E}(\hat{\sigma})=\sigma^{2}+\mu^{2}h/n, \quad \text{Var}(\hat{\sigma})=2\sigma^{4}/n+4\mu^{2}h/n^{2}.$$
El sesgo puede ser descuidado (ver referencia para más detalles).
Es importante destacar que, la precisión (desviación) de la estimador para $\sigma$, $\text{Var}(\hat{\sigma})$, no depende del número de observaciones, $n$ - fijo $h$.
La consecuencia de esto es que, para fijo $h$, tomando mayor (menor) observaciones intervalos, $\Delta$, la exactitud de la varianza del estimador puede ser mejorado ($\text{Var}(\hat{\sigma})$ puede ser reducido). Esto no es cierto de la varianza del estimador de la esperada (media) de retorno, $\text{Var}(\hat{\mu})$, cuya precisión puede mejorarse solo por el aumento en el período de observación, $h$.
La referencia de esta es
- Merton, R. C. En la estimación de la rentabilidad esperada en el mercado. J. financiera. econ. 8, 323-361 (1980).
saint_groceon
Puntos
2696
Tal vez darle un poco más de la intuición (y parcialmente al aumento en el sitio de la respuesta a cada pregunta una relación), me gustaría añadir lo siguiente a @Rusan la respuesta.
Si tenemos en cuenta la estimación de los parámetros de un proceso estocástico como $X_k = \mu \Delta + \sigma \sqrt \Delta \epsilon_k$, entonces podemos hacer dos cosas. Podemos muestra de más puntos en un intervalo de tiempo determinado (los puntos están más cerca entre sí) o se puede alargar el intervalo dado de tiempo (por recopilar datos durante un largo período de tiempo, por ejemplo). Cuando se trata de la estimación de $\mu$, de los puntos de muestreo más cerca juntos no nos sirve de mucho porque en intervalos más cortos (de mayor frecuencia), el proceso pasa a ser dominado por el ruido. Esto podría ayudarnos a estimar la varianza del proceso, pero si se desea una estimación más precisa de la tendencia ($\mu$), entonces tenemos que alargar el total de intervalo de tiempo ($h$ en @Rusan la respuesta).
