Dadas dos correlacionadas estrategias, cada una con un ratio de Sharpe de 1, ¿cuál es el de Sharpe ratio del conjunto?
Respuestas
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Si suponemos que el conjunto te refieres a un igualmente ponderada de la cartera de los dos. Podemos expresar que la cartera $$P = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$y$ y la razón de sharpe de $P$, $S(P)$, será de $$\frac{\frac{1}{2}\mu_x + \frac{1}{2}\mu_y - r_f}{\sigma_{\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y}}$$ porque $x$ y $y$ son uncorellated, esto se reduce a $$\frac{\mu_x + \mu_y - 2r_f}{\sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}}$$ porque la razón de sharpe $$S(x)=\frac{\mu_x - r_f}{\sigma_x}=S(y)=\frac{\mu_y - r_f}{\sigma_y} = 1$$ tenemos $$\mu_x - r_f = \sigma_x \\\mu_y - r_f = \sigma_y $$ por lo tanto $$\mu_x + \mu_y - 2r_f = \sqrt{\sigma_x^2} + \sqrt{\sigma_y^2} $$ y $$S(P) = \frac{\sqrt{\sigma_x^2} + \sqrt{\sigma_y^2}}{\sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}}$$ ¿Qué se puede decir acerca de esta relación? Cómo se relaciona con la desigualdad de Jensen? ¿qué sucede si no están perfectamente correlacionados?
abjbhat
Puntos
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Por supuesto, depende de los pesos de su "grupo". La óptima combinación de los siguientes ratio de Sharpe:
$$ S_{opt} = \sqrt{S_1^2+S_2^2} $$
es decir, $S_{opt} = \sqrt{2} \approx 1.414$ en el ejemplo
Prueba: Deje que $x$ se la expectativa, y $V$ la matriz de covarianza del vector de los activos. El ratio de Sharpe de la cartera con pesos $w$ se define por $S_w=\frac{x^Tw}{\sqrt{w^TVw}}$.
En primer lugar, hemos de transformar el problema en una forma más simple:
De ello se sigue que, si $w_1$ cuenta con un excelente ratio de Sharpe $S^*$, lo cual siempre es positivo, entonces $a \: w_1$ tiene el mismo ratio de Sharpe para cualquier número real positivo de $a$. La configuración de $a=1/x^Tw_1$, muestra que existe una cartera de $w$, con una óptima relación de Sharpe y $x^Tw=1$.
Ahora, podemos encontrar $S^*$ mediante la maximización de $S_w$ sujetos $x^Tw=1$, es decir, minimizar $w^TVw$ sujetos $x^Tw=1$. El uso de uno de Lagrange multiplyer $\lambda$ da las siguientes condiciones: $$ \nabla_w(w^TVw+\lambda x^Tw)=2 Vw + \lambda x\stackrel{!}{=}0 $$ $$ x^Tw=1$$ La solución es $w=\frac{V^{-1}x}{w^TV^{-1}w}$ y el mejor ratio de Sharpe es así $$ S^*=\sqrt{x^TV^{-1}x}$$
Aplicación a su caso: Dos activos no correlacionados con volas $\sigma_1$ y $\sigma_2$ es decir, $V^{-1}=\left(\begin{array} c\sigma_1^{-2}& 0\\0&\sigma_2^{-2}\end{array}\right)$, y la razón de Sharpe $S_i=x_i/\sigma_i$ da el resultado anterior.
