Integrales de Ito y cópulas

Question

Dejen $X_{t}$ e $Y_{t}$ ser dos movimientos brownianos y dejen que su distribución conjunta sea dada por $F$. Así que en movimientos brownianos correlacionados regularmente donde $dX_{t}dY_{t}=\rho dt$, tenemos una distribución normal bivariada para $X$ y $Y.

¿Esto significa que $\int_{0}^{t}g(s)dX_{s}$ y $\int_{0}^{t}g(s)dY_{s}$ tienen la misma distribución bivariada? Entonces, nuevamente en el caso de movimientos brownianos correlacionados regularmente, esto implicaría una distribución normal bivariada pero con diferentes medias y matrices de covarianza?

¿Esto funciona para todas las distribuciones? Digamos que $X_{t}$ e $Y_{t}$ están distribuidos con cópula $C$, ¿esto significa que $\int_{0}^{t}g(s)dX_{s}$ y $\int_{0}^{t}g(s)dY_{s}$ también están distribuidos con cópula $C$?

¿Y si es así, por qué?

Answer 1

0/ Permítanme usar notaciones más comunes para evitar malentendidos. Consideraremos $B_t^x$ y $B_t^y$ - dos movimientos Brownianos correlacionados, por ejemplo, $\=\rho dt.

Solo para recordar, el proceso de Ito: $$X_t = X_0 + \int_0^t \mu(s,\omega) ds + \int_0^t \sigma(s,\omega) dB_s^x\\ dX_t=\mu(t,\omega) dt + \sigma(t,\omega) dB_t^x$$

1/ Brownianos simples: $$\mathbb{E}(B_t) = 0\\ \mathbb{E}((B_t)^2) = t \\\mathbb{Cov}(B_t^x,B_t^y) = \rho t$$

2/ Integrales: $$I(t) = \int_0^t g(s) dB_s $$ $I(t)$ es un proceso de Ito con drift cero => $\mathbb{E}(I(t)) = 0$.

De tu notación parece que $g(t)$ es determinista, por lo tanto
$$\mathbb{E}(I(t)^2) = \int_0^t g^2(s)ds \\ \mathbb{Cov}(I_x(t),I_y(t)) = \rho \int_0^t g^2(s)ds.$$

Así que podríamos decir que en ambos casos tienes una distribución normal multivariante con la misma matriz de correlación pero diferente factor de escalamiento.

3/ ¿Funciona esto para todas las distribuciones? => No, solo considera la distribución lognormal. El truco es que la suma de distribuciones normales es una distribución normal, lo cual no es el caso para cualquier distribución.