¿Podemos utilizar el lema de Hotelling como una regla de oro cuando la tasa salarial puede variar?

Question

Descargo de responsabilidad: He estado realizando simulaciones con Excel para ver cómo se comporta el Lema de Hotelling cuando se permite que otro parámetro varíe. Hice esto produciendo 150 funciones de beneficio generadas aleatoriamente (basadas en distribuciones normales) y permitiéndoles variar en los parámetros de interés. El objetivo es aprender hasta qué punto puedo aplicar el uso del Lema de Hotelling fuera de condiciones ideales (como cuando el salario también varía).

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Recuerda que lo que el Lema de Hotelling nos dice (esencialmente) es que el cambio en el beneficio debido a un cambio en el precio es proporcional a la cantidad producida, lo que significa que la función de beneficio aumenta/disminuye linealmente cuando el precio cambia manteniendo todo lo demás constante. Este es exactamente el resultado que obtuve al simularlo.

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Luego me pregunté si permitimos que la tasa de salario también varíe, encontré algunas estructuras interesantes y desordenadas de cómo cambia el Lema de Hotelling. En este caso, la determinación del precio y el salario se muestrean de una distribución normal tal que $\mathcal{N}(5,2)$ y las entradas y salidas se muestrean de una distribución normal tal que $\mathcal{N}(50,25)$. Estos son mis resultados:

A pesar de que este método es (claramente) no científico y viola la definición estricta del lema, ¿podemos usar el lema de Hotelling como una regla empírica cuando la variabilidad en la tasa de salario es pequeña?

El código/configuración de Excel está disponible bajo petición.

Answer 1

No tengo muy claro lo que significa aplicar un resultado matemático a una situación en la que se violan las suposiciones, pero la misma idea que en la versión clásica del lema de Hotelling se puede utilizar para entender el efecto marginal de los cambios salariales y se pueden combinar ambos para entender qué sucede en el margen si se cambian tanto los precios como los salarios.

La lógica subyacente del lema de Hotelling era que para una empresa que maximiza sus ganancias, el efecto marginal de ajustar las salidas (y, por lo tanto, las entradas) es cero. Esto nos dice que el efecto marginal de los cambios salariales en las ganancias debería ser proporcional a las entradas utilizadas, es decir $$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial w}=-x(p,w),$$ con $x(p,w)$ el paquete de entradas óptimo. Esto es realmente cierto y la prueba es exactamente la misma que para el efecto marginal de $p$, simplemente reemplazando la derivada con respecto a $p$ por la derivada con respecto a $w$. Si $f$ es la función de producción, la función de ganancias está dada por $$\pi(p,w)=pf\big(x(p,w)\big)-wx(p,w).$$ Tomando la derivada con respecto a $w ahora nos da $$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial w}=pf'\big(x(p,w)\big)\frac{\partial x(p,w)}{\partial w}- x(p,w)-w\frac{\partial x(p,w)}{\partial w}.$$ La condición de primer orden para que $x(p,w)$ sea un maximizador de $pf(x)-wx$ implica $$pf'\big(x(p,w)\big)- x(p,w)-w=0$$ y por lo tanto $$pf'\big(x(p,w)\big)\frac{\partial x(p,w)}{\partial w}-w\frac{\partial x(p,w)}{\partial w}=0.$$ Sustituyendo esto, obtenemos $$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial w}=-x(p,w).$$

El teorema del sobre generaliza la idea subyacente de que los beneficios marginales de los ajustes para los agentes optimizadores son cero para problemas de optimización parametrizados más generales.