Cálculo de la cartera de varianza media con parámetro de aversión al riesgo

Question

Quiero calcular la cartera clásica de varianza media (Markowitz) con un parámetro de aversión al riesgo $\gamma$ . Tengo el siguiente problema en el que quiero maximizar:

$max(x_t) \ \ x_t^T\mu_t - \frac{\gamma}{2}x_t^T\Sigma_tx_t$

Dónde $\mu$ = media

$x_t$ = cartera en el momento $t$

$\Sigma$ = matriz de covarianza de la muestra

w(t) es el vector de ponderaciones relativas de la cartera, calculado del siguiente modo:

$w_t=\frac{x_t}{1_N^Tx_t}$

1_N es un vector de unos (N elementos)

Mi preocupación es que en la literatura sólo he visto soluciones para el problema de maximización anterior en las que el parámetro de aversión al riesgo desaparece:

$w_t=\frac{\Sigma_t^{-1}\mu_t}{1_N\Sigma_t^{-1}\mu_t}$

Me pregunto en qué momento tenemos en cuenta el parámetro de aversión al riesgo durante la optimización.

Answer 1

Así es como se tendría en cuenta la aversión al riesgo.

En primer lugar, creo que este problema se suele plantear utilizando pesos como variables (véase aquí http://www.math.ku.dk/~rolf/CT_FinOpt.pdf página 141). Si desea utilizar pesos en dólares, tendrá que transformar el resultado.

El problema de optimización es:

$$ \max_w \quad w'\mu −\frac{\gamma}{2} w'\Sigma w$$

Los pesos suman 1:

$$ w'e = 1 $$

Dónde tiene $N$ activos, $w$ y $\mu$ son $N\times1$ vectores, y $\Sigma$ es un $N\times N$ matriz. $e$ es un $N\times1$ vector de unos.

El Lagrangiano para el problema es:

$$ \max_w \quad w'\mu −\frac{\gamma}{2} w'\Sigma w + \lambda (w'e - 1)$$

Para optimizar, tomamos el gradiente de la función objetivo y establecemos cada elemento igual a cero. Así tendremos una $N\times 1$ ecuación vectorial:

$$0 = \mu - \gamma \Sigma w + \lambda e$$

Esto puede resolverse para $w$ :

$$w = \left(\gamma \Sigma\right)^{-1} \left(\mu + \lambda e\right)$$

Introduciendo esto en la restricción, obtenemos:

$$ \left(\left(\gamma \Sigma\right)^{-1} \left(\mu + \lambda e\right)\right)'e = 1$$

La transposición invierte el orden de los términos, y no tiene ningún efecto sobre la simétrica $\Sigma^{-1}$ matriz:

$$ \left(\left(\mu' + \lambda e'\right)\frac{\Sigma^{-1}}{\gamma} \right)e = 1$$

Esto puede simplificarse:

$$ \mu' \Sigma^{-1} e + \lambda e' \Sigma^{-1} e = \gamma$$

Resolución de $\lambda$ obtenemos

$$ \lambda = \frac{\gamma - \mu' \Sigma^{-1} e}{e'\Sigma^{-1} e} $$

Así que la fórmula general para los pesos es:

$$w = \left(\gamma\Sigma\right)^{-1} \left(\mu + \frac{\gamma - \mu' \Sigma^{-1} e}{e'\Sigma^{-1} e} e\right)$$