Prueba del comportamiento asintótico del movimiento browniano geométrico

Question

En línea encontré la propiedad de comportamiento asintótico del movimiento browniano geométrico $X_t$ como:

Si $\mu$ (parámetro de deriva) es $\ge$ $\sigma^2/2$ donde $\sigma$ es el parámetro de volatilidad, entonces $X_t \rightarrow \infty$ como $t \rightarrow \infty$

Si $\mu < \sigma^2/2$ entonces $X_t \rightarrow 0$ como $t \rightarrow \infty$

Si $\mu = \sigma^2/2$ entonces $X_t$ no tiene límite ya que $t \rightarrow \infty$

Aunque esto tiene sentido, ¿cómo sería la prueba de esta propiedad? No estoy muy seguro de cómo enfocarlo en este momento. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Para cualquier $\alpha > 0$ , \begin{align*} \lim_{t\rightarrow\infty}P\left(e^{\big(u-\frac{\sigma^2}{2}\big) t +\sigma W_t} > \alpha \right) &= \lim_{t\rightarrow\infty}P\left(\big(u-\frac{\sigma^2}{2}\big) t +\sigma W_t > \ln \alpha \right)\\ &=\lim_{t\rightarrow\infty}P\left(\frac{W_t}{\sqrt{t}} > \frac{\ln\alpha- \big(u-\frac{\sigma^2}{2}\big) t }{\sigma \sqrt{t}} \right)\\ &=\lim_{t\rightarrow\infty}\Phi\left(\frac{\big(u-\frac{\sigma^2}{2}\big) t -\ln\alpha}{\sigma \sqrt{t}} \right)\\ &= \begin{cases} 1, &\mbox{ if } u>\frac{\sigma^2}{2},\\ \frac{1}{2}, &\mbox{ if } u=\frac{\sigma^2}{2},\\ 0, &\mbox{ if } u < \frac{\sigma^2}{2}. \end{cases} \end{align*} La conclusión es inmediata.

Editar en base a los comentarios de abajo.

Dejemos que $X_t = e^{\big(u-\frac{\sigma^2}{2}\big) t +\sigma W_t}$ . Tenga en cuenta que \begin{align*} \left(\omega:\, \lim_{t\rightarrow \infty} X_t = \infty \right) &= \cap_{m=1}^{\infty}\cup_{n=1}^{\infty} \cap_{t\ge n}(\omega:\,X_t > m). \end{align*} La convergencia casi segura, para el caso en que $u>\frac{\sigma^2}{2}$ , sigue inmediatamente.

Answer 2

Escribe $X_t = \exp(\mu B_t + (\mu - \frac {\sigma^2}{2})t )$ . Para demostrar la afirmación se puede utilizar la ley de los grandes números para el movimiento browniano que establece que $\lim_{t \to \infty} \frac {B_t}{t} = 0$ . Entonces reescribe $X_t$ como $$X_t = \exp(t (\mu \frac {B_t}{t} + (\mu - \frac{\sigma^2}{2})).$$ Utilizando estas dos propiedades, se puede analizar el comportamiento de convergencia de $X_t$ .