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Demostrar que $x(p,w)=w\cdot x(p,1)$ con homothetic preferencias

Alguien me dio una prueba de ello, pero no estoy seguro de si es correcto.

Deje que $B(p,w) = \{x: p\cdot x \leq w\}$ (el presupuesto). Entonces:

\begin{align} x(p,w) &= \arg \max_{x\in B(p,w)} u(x)\\ &=\arg \max_{\alpha x\in \alpha B(p,w)} u(\alpha x) \\ &=\arg \max_{y\in B(p,\alpha w)} u(y) \\ &=\frac{1}{\alpha} \arg \max_{y\in B(p,\alpha w)} u(y) \\ &=\frac{1}{\alpha} x(p, \alpha w) \end{align} Donde el resultado se sigue de tomar $\alpha=\frac{1}{w}$.

Es esto una prueba de la correcta (no estoy seguro de la media de tres igualdades)? Donde se homotheticity utilizado?

EDIT: UNA monótona preferencia relación $\succsim$ en $X= \mathbb{R}^{L}_{+}$ es homothetic si todos los conjuntos de indiferencia están relacionados por el proporcional de expansión a lo largo de los rayos; es decir, si $x \sim y$, entonces $\alpha x \sim \alpha$ y para cualquier $\alpha \geq 0$.

También, es el recuerdo de un continuo $\succsim$ en $X = \mathbb{R}_{+}^{L}$ es homothetic iff se admite una función de utilidad que es homogénea de grado uno; $u(\alpha x) = \alpha u(x)$.

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Alexandros B Puntos 131

Una prueba indirecta. Supongamos que $$ x(p,w) = w\cdot x(p,1) $$ no se sostiene. Esto es equivalente a afirmar $$ U(x(p,w)) \neq U(w\cdot x(p,1)). $$ (Para ser precisos: $x(p,w)$ y $x(p,1)$ se puede establecer valorados. En este caso estamos hablando de dos elementos, al menos uno de los cuales no está incluido en ambos conjuntos.)

Caso 1.
$$ U(x(p,w)) > U(w\cdot x(p,1)) $$ Como $U$ es homothetic $$ U(x(p,w)) = U(w \cdot \frac{1}{w}\cdot x(p,w)) = w \cdot U(\frac{1}{w}\cdot x(p,w)). $$ El uso de este tenemos $$ w \cdot U(\frac{1}{w}\cdot x(p,w)) = U(x(p,w)) > U(w\cdot x(p,1)) = w\cdot U(x(p,1)) $$ y así $$ U(\frac{1}{w}\cdot x(p,w)) > U(x(p,1)) $$ Sin embargo, como $\frac{1}{w} \cdot x(p,w)$ es claramente un elemento de $B(p,1)$ esto es imposible, ya que $x(p,1)$ da de máxima utilidad en el presupuesto de ese conjunto.

Caso 2.
$$ U(x(p,w)) < U(w\cdot x(p,1)) $$ Como $w \cdot x(p,1)$ es claramente un elemento de $B(p,w)$ esto es imposible, ya que $x(p,w)$ da de máxima utilidad en el presupuesto de ese conjunto.

Por lo tanto hemos probado que $$ U(x(p,w)) = U(w\cdot x(p,1)) $$ que es equivalente a $$ x(p,w) = w\cdot x(p,1). $$

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