Opción de compra sobre el cuadrado de un activo logarítmico

Question

Estoy trabajando en una pregunta de entrevista cuántica del libro llamado Quant Job Interview Questions And Answers (por Mark Joshi y otros autores).No puedo entender bien su respuesta y realmente aprecio su consejo:

Esta es la pregunta: suponga que tiene una opción de compra sobre el cuadrado de un activo log-normal. ¿Qué ecuación satisface el precio?

La respuesta dice "el precio sigue satisfaciendo la ecuación de Black-Scholes", estoy confundido con la fórmula de Black Scholes {ex. prima de la opción de compra = S N(d1)-K exp(-rt) N(d2)} y Black Scholes PDE {ex. dC/dt+r S*dC/dS+(1/2)*sigma^2*S^2*d^2C/dS^2 = r*C}. Entonces, ¿a qué se refiere la "ecuación de Black Scholes" (de la respuesta)? ¿La EDP de Black Scholes o la fórmula de Black Scholes? Mi entendimiento sobre la diferencia entre los dos es: La PDE tiene una condición de contorno que puede utilizarse para valorar casi todas las opciones (por ejemplo, europeas, americanas, asiáticas), pero la fórmula de Black Scholes puede utilizarse para valorar la opción europea, ¿es así? En otras palabras, la PDE puede utilizarse para valorar una opción cuyo valor depende de los precios pasados, ya que podemos resolver la PDE hacia atrás y tener en cuenta esos precios pasados, pero la fórmula de Black Scholes sólo puede valorar una opción cuyo valor depende del vencimiento, ¿es así?

Answer 1

Generalmente se utiliza la ecuación de Black Scholes para referirse a la EDP de Black Scholes (ecuación PD). Y la fórmula se refiere a la fórmula analítica, que suele abarcar las versiones de compra y de venta.

La extensión de la BS al cuadrado o a la potencia de S se trata con frecuencia en los libros de texto y en los exámenes; sin embargo, podría ser complicado en una situación de entrevista. Al utilizar la lógica de Black Scholes, pueden preguntarte sobre la cartera de autofinanciación o la medida de martingala o el cambio de numerario. Como puede ver, justificar la extensión de los argumentos de Black Scholes a estos pagos no es en absoluto trivial. Por lo tanto, estos pagos son un buen ejercicio para aprender sobre la maquinaria detrás de Black Scholes, y cuándo usar o no usar la EDP de BS.

Para las opciones dependientes de la ruta, consulte la discusión aquí: ¿Podemos utilizar el método Black-Scholes para valorar las opciones dependientes de la trayectoria?