Forma equivalente de Black-Scholes de la Ecuación (a transformar la ecuación del calor)

Question

Estoy tratando de entender la transformación de la Black-Scholes ecuación para el unidimensional de la ecuación del calor de Joshi, M. (2011). Los Conceptos y la práctica de la matemática a las finanzas. 2ª ed. Cambridge, reino unido: Cambridge University Press, pp 119. . El autor declaró que el Black-Scholes ecuación:

$ \frac{\partial C}{\partial t}(S,t) +rS \frac{\partial C}{\partial S}(S,t) + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t) -rC=0 $

puede ser reescrita como:

$ \frac{\partial C}{\partial t}(S,t) +(r-\frac{1}{2}\sigma^2) S \frac{\partial C}{\partial S}(S,t) + \frac{1}{2}\sigma^2 (S \frac{\partial}{\partial S})^2 C -rC=0 $,

sin embargo no puedo ver cómo estas dos ecuaciones son equivalentes, en particular, no entiendo cómo el adicional de $-\frac{1}{2} \sigma^2 S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t)$ produjo. He tratado de ampliar el cuadrado diferencial operador de la siguiente manera:

\begin{align*} & \frac{1}{2}\sigma^2(S \frac{\partial}{\partial S})^2 C(S,t) \\ &= \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial}{\partial S} [\frac{\partial}{\partial S} (S^2 C(S,t))] \\ &= \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial}{\partial S} [2S\cdot C(S,t) + S^2 \frac{\partial C(S,t)}{\partial S}] \\ &= \frac{1}{2}\sigma^2 [2C(S,t) + 2S \frac{\partial C(S,t)}{\partial S} + 2S \frac{\partial C(S,t)}{\partial S} + S^2 \frac{\partial^2 C(S,t)}{\partial S^2} \\ &= \frac{1}{2} \sigma^2 [2C(S,t) + 4S \frac{\partial C(S,t)}{\partial S}] + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial ^2 C(S,t)}{\partial S^2} \end{align*}

Hay algo que me perdí? ¿Alguien puede ayudarme?

Gracias.

Answer 1

Creo que te has cottoned a la pregunta principal - que es,a ver por qué $\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{ \partial S^2 }$ es la misma cosa como $-\frac{1}{2} \sigma^2 S \frac{\partial C}{\S parcial} + \frac{1}{2} \sigma^2 (S \frac{\partial}{\partial S})^2 C $. Creo que tu confusión viene de tratar con el cuadrado del operador.

Escribir lo que la expresión significa, tenemos

$$ (S \frac{\partial}{\partial S})^2 C= (S \frac{\partial}{\partial S}) (S \frac{\partial}{\partial S}) C $$

Es decir, aplicar $S \frac{\partial}{ \partial S} $ a $C$ en primer lugar, a continuación, aplicar $S \frac{\partial}{\partial S}$ para el resultado. Tenga en cuenta que no podemos cambiar el orden de estos símbolos - esto no es lo mismo que $\frac{\partial}{\partial S} \frac{\partial}{\partial S S}^2 $. (El operador de la derivada rara vez los viajes con nada - trate de la evaluación de este en una hipotética opción con el valor de la constante $C=1$) incremento de la expresión debe dar

$$ (S \frac{\partial}{\partial S})^2 C = S \frac{\partial}{\partial S} (S \frac{\partial C}{\partial S}) $$

y aplicando la regla del producto da que esto es igual a

$$ S (\frac{\partial S}{\partial S} \frac{\partial C}{\partial S} + S \frac{\partial ^2 C}{\partial S ^2}) $$

(Por cierto, podemos ver que es exactamente el producto de la regla que hace que la derivada no conmuta con la multiplicación por $S$). Así

$$ (S \frac{\partial}{\partial S})^2 C= S \frac{\partial C}{\partial S} + S^2 \frac{\partial ^2 C}{\partial S ^2} $$

Multiplica esto por $\frac{1}{2} \sigma^2$ y reorganizar un poco, y deberíamos tener nuestro resultado.