Optimización de la cartera - n activos de riesgo

Question

Actualmente estoy implementando un modelo CAPM en Excel:

• Una cartera de n activos de riesgo cuando n=6 (en este caso)
• Una tasa de préstamo sin riesgo del 8% y una tasa de préstamo sin riesgo del 3%
• Se me da el rendimiento esperado y la desviación estándar para cada activo de riesgo.

La primera tarea fue crear una cartera de variación mínima. Hice esto usando la siguiente fórmula de matriz: {=MMULT(MINVERSE(Cov),TRANSPOSE(I))/SUMA(MMULT(MINVERSE(Cov),TRANSPOSE(I))}

Cov es mi matriz de covarianza de 6x6 y yo sólo soy una matriz de 1x6. Podría haber creado yo como una matriz de 6x1 y evitar la TRANSPOSICIÓN() por completo.

Actualmente estoy atascado en la siguiente tarea que es incorporar el activo sin riesgo en la mezcla y determinar los pesos óptimos para cada activo de riesgo dado una tasa de retorno deseada.

Mi enfoque fue el siguiente:

• Calcule el exceso de rendimiento restando el 3% de la tasa de préstamo sin riesgo del rendimiento esperado para cada activo de riesgo. Almacene estos valores en una matriz de 1x6 llamada XsRtn
• Ejecute la fórmula de la matriz para determinar los 6 pesos: {=MMULT(MINVERSO(Cov),TRASPASO(XsRtn))/SUMA(MMULT(MINVERSO(Cov),TRASPASO(XsRtn))}
• Suma los 6 pesos para encontrar el peso de la cartera tangente. Si este peso es > 1 entonces el inversor es prestatario neto por lo que pedirá prestado al 8% para llevar el peso total a 1. De lo contrario, el inversor presta el exceso de efectivo al 3% sin riesgo.

Este método pareció funcionar bien hasta que me di cuenta de que las ponderaciones individuales de los activos de riesgo que componen la cartera tangente no cambian cuando modifico los insumos pertinentes (rendimientos previstos de cada acción individual). Esto no puede ser correcto, ya que la mezcla de la cartera tangente debería cambiar a medida que me muevo a lo largo de la curva tangente.

PD - Ya he pensado en la idea de usar los multiplicadores de LaGrange, pero no era práctico. Las matrices son mucho más fáciles de implementar. Además, no se nos permite usar Solver.

¿Algún consejo? Gracias por leer.

Answer 1

Hay que encontrar la cartera de mercado, que es la cartera con el máximo ratio de Sharpe:

$$S^*(w)=\frac{R_p(w)-R_f}{\sigma_p(w)}$$

Así que calcula este ratio y maximízalo (creo que también hay una expresión analítica exacta para las ponderaciones de la cartera de mercado).

A continuación, los inversores mezclarán esta "mejor" cartera de mercado óptima con el activo sin riesgo en función de su rentabilidad deseada, de modo que se obtienen las ponderaciones de la cartera del inversor $w$ para el retorno deseado $R^*$ resolviendo:

$$R^*=w\cdot R_m+(1-w)R_f$$

donde $R_m$ siendo la rentabilidad de la cartera de mercado y $R_f$ el rendimiento del activo sin riesgo.