Valorando una opción de compra con función de pago max{$S_T - S_{T/2}, 0$}

Question

Cálculo de una opción de compra con función de pago $C=\max\{S_T - S_{T/2}, 0\}$, donde $S_T$ es un movimiento browniano geométrico. ¡Agradezco cualquier ayuda! Por favor cierre esta pregunta si es una pregunta duplicada. ¡Gracias a todos!

Mi enfoque es sacar $S_{T/2}$:

$$C = S_{T/2} \max\left\{\frac{S_T}{S_{T/2}} - 1, 0\right\}$$

Luego podemos definir una medida de riesgo neutral:

$$\begin{align} E[C] & = E\left[S_{T/2} \max\left\{\frac{S_T}{S_{T/2}} - 1, 0\right\}\right] \\[3pt] & = \tilde{E}\left[\max\left\{\frac{S_T}{S_{T/2}} - 1, 0\right\}\right] \end{align}$$

donde usamos $S_{T/2}$ como numerario. Luego sustituimos en la fórmula de Black-Scholes para opción de compra con $S=1$, $K=1$ y $r=0$.

¿Es correcto este enfoque? Mi principal preocupación es, ¿podemos usar $S_{T/2}$ como numerario?

Answer 1

Supongamos que estamos en un entorno estándar de Black-Scholes con 2 activos negociados, una cuenta de mercado de dinero $B_t$ y una acción $S_t$, tal que: $$\begin{align} \text{d}B_t & = rB_t\text{d}t \\ \text{d}S_t &= rS_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W^Q_t \end{align}$$ donde $W^Q_t$ es una movimiento browniano bajo la medida neutral al riesgo asociado a la cuenta bancaria $B_t$. Definiendo $\tilde{B}_t = B_t/S_t$, mediante el Lema de Itô y el teorema de Girsanov: $$\begin{align} \text{d}\tilde{B}_t&=\sigma^2\tilde{B}_t\text{d}t-\sigma\tilde{B}_t\text{d}W^Q_t \\ &=\sigma\tilde{B}_t\left(\sigma\text{d}t-\text{d}W^Q_t\right) \\ &=\sigma\tilde{B}_t\text{d}W^S_t \end{align}$$ donde $W^S_t=\sigma t-W^Q_t$ es un movimiento browniano bajo la medida asociada al numéraire de la acción, así: $$\begin{align} \text{d}S_t & = rS_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W^Q_t \\ &=(r+\sigma^2)S_t\text{d}t-\sigma S_t\text{d}W^S_t \end{align}$$ Bajo la medida $Q^S$ el precio de la acción es lognormal con deriva $r+\sigma^2$ y volatilidad $\sigma$. Esto se logra mediante un cambio de medida: $$\begin{align} E^Q_t\left[\frac{B_t}{B_T}\left(S_T-S_{T/2}\right)^+\right]&=E^Q_t\left[\frac{B_tS_T}{B_T}\left(1-\frac{S_{T/2}}{S_T}\right)^+\right] \\ &=S_tE^S_t\left[\left(1-\frac{S_{T/2}}{S_T}\right)^+\right] \end{align}$$ Sin embargo: $$ \frac{S_{T/2}}{S_T}=\exp\left\{\sigma\sqrt{\frac{T}{2}}Z-\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\frac{T}{2}\right\}$$ donde $Z \sim (-Z) \sim \mathcal{N}(0,1)$ es una variable aleatoria Normal estándar. Ahora puedes reciclar la fórmula de Black-Scholes para encontrar el precio de la opción.