La distribución de saltar las brechas para la Exacción de los procesos de

Question

Se asume que $X_{t}$ es un impuesto proceso con triplete $(\sigma^{2}, \lambda \nu)$, aquí $\nu$ es la imposición de la medida de $X_{t}$. Definir $\tau_{1},\tau_{2},\dots$ ser la brecha de tiempo entre las sucesivas salta a suceder.

Hay dos preguntas para mí. En primer lugar, es de $\tau_{i}$ bien definidos?. Segundo, la respuesta de la primera es sí, sabemos que $\tau_{i}$ son yo.yo.d. Entonces, ¿cómo encontrar la distribución de $\tau_{i}$? Podemos probar la expectativa de $\tau_{i}$ es finito o, incluso, su varianza es finito, de acuerdo a la información de Levy medida $\nu$?

Puedo hacer esto cuando la tasa proceso $X_{t}$ es el proceso de Poisson o binomial negativa proceso. Tengo dificultades a la hora de la función de densidad de probabilidad de $\nu$ es continua. Por ejemplo, en el caso de que $X_{t}$ es una Gamma proceso.

Las eventuales referencias que sería muy apreciada.

Answer 1

Esta es una buena referencia más corto: http://www.impan.pl/CZM/tankov.pdf. Cont y Tankov también han escrito ya un libro acerca de la modelización con Levy procesos que creo que es realmente bueno.

Va a haber una fuerte relación entre la secuencia de salto de veces, y la imposición de la medida $\nu$. En una sola unidad de tiempo, $ \nu(dx)$ es una medida (no necesariamente una probabilidad) que registra el número esperado de saltos de tamaño dx.

Ahora, si $\nu$ no es una medida finita, entonces creo que no tiene sentido hablar de el salto veces. Básicamente están sucediendo todo el tiempo. Así, por ejemplo, si se trató de definir $\tau_1 = \inf \{ t \geq 0 : \Delta t \neq 0 \}$, $\tau_1$ sería igual a cero. Esta es la razón por la que digo que la idea no es significativo.

Por otro lado, supongamos que $\nu$ es finito medida. Esto está más cerca de la configuración de un proceso de Poisson, donde $\nu$ es $\lambda$ veces de un punto de masa en 1, o para un proceso de Poisson compuesto, $\lambda$ veces el pdf de el salto de la distribución de tamaño. De modo análogo, deje que $\lambda' = \nu(\mathbb{R})$. Este es el número esperado de saltos por unidad de tiempo. A continuación, el salto veces (haciendo caso omiso de tamaño) vendrá como un proceso de Poisson con intensidad $\lambda'$, por lo que el individuo lagunas en la correspondiente distribución exponencial.