El valor de flujo de efectivo para un futuro en Shreve del libro

Question

En Shreve del libro, el valor de flujo de efectivo para un futuro de discretos caso es

$$\dfrac{1}{D(t)}E\Big[\sum\limits_{j=k}^{n-1}D(t_{j+1})(\textrm{Fut}_S(t_{j+1},T)-\textrm{Fut}_S(t_j,T))\Big|\mathcal{F}(t)\Big]$$ La continua versión es

$$\dfrac{1}{D(t)}E\Big[\int_t^T D(u)\textrm{d} \textrm{Fut}_S(u,T) \Big|\mathcal{F}(t)\Big]$$

Pero usted sabe que Ito integral elige el lado izquierdo del punto final, que debe reemplazar $D(t_{j+1})$ por $D(t_j)$ en la primera ecuación, la versión en Shreve del libro es en realidad la mano derecha de la estación, pero el autor siempre se refiere como un Ito integral. Entonces, ¿dónde está mi malentendido? Aquí $D(t)$ es el factor de descuento.

Answer 1

Creo que la confusión se debe a los índices. $D(t_{j+1})$ es $\mathcal{F}(t_j)$ medibles, por lo que se conoce en la parte izquierda de la estación. Si sustituye la fórmula (6.2.2) por $D(t_{j+1})$:

$$D(t_{j+1}) = \frac{1}{(1+R(t_0))(1+R(t_1)+ \cdots + (1+R(t_j))}$$

usted reconocerá un Ito integral:

$$\dfrac{1}{D(t)}E\Big[\sum\limits_{j=k}^{n-1}\frac{1}{(1+R(t_0))+ \cdots + (1+R(t_j))}(\textrm{Fut}_S(t_{j+1},T)-\textrm{Fut}_S(t_j,T))\Big|\mathcal{F}(t)\Big]$$