¿El axioma de la independencia requiere independencia estadística?

Question

Primero: Dada esta definición del Axioma de la Independencia,

Si para todos $P$ , $P'$ , $P''$ en el conjunto de loterías sobre el espacio de resultados $X$ cuando:

$P$ preferida a $P'$ $ \implies $ $aP + (1-a)P''$ preferida a $aP' + (1-a)P''$ para todos $a$ en $(0,1)$ ."

¿Puedo hacer lo que hago aquí?

Luego $P$ preferida a $P'$ $ \implies $ $P$ preferida a $aP' + (1-a)P$ para todos $a$ en $(0,1)$ .

Segundo: ¿La satisfacción del Axioma de la Independencia depende de la independencia estadística de las loterías involucradas? No parece ser mencionado en ningún lugar que haya mirado.

Cualquier dirección que se pueda ofrecer es muy apreciada.

Answer 1

Primera pregunta:

Sí, puede obtener $P \succsim P' \Rightarrow P \succsim a P' + (1-a)P \forall a\in (0,1)$ de la configuración $P''=P$ en el axioma. Por lo tanto, su nueva condición es un caso especial del axioma de independencia tal y como está planteado.

Segunda pregunta:

Independencia estadística de $P,P',P''$ no se asume en el axioma de independencia. La noción de independencia estadística de las loterías ni siquiera tiene sentido, ya que sólo se puede elegir una lotería. Sólo cuando se eligen varias loterías al mismo tiempo, su dependencia es importante, ya que se puede reducir o aumentar el riesgo mediante la combinación de loterías que no son independientes.

Answer 2

La segunda pregunta del PO es importante, porque pide que se aclare un asunto que nunca he visto explícitamente aclarado.

El axioma de independencia se define sobre loterías simples. Una lotería simple es un conjunto de probabilidades que suman uno, y los valores fijos ("resultados") asociados a cada probabilidad. Pero todos ellos forman una distribución estadística (marginal). Así que podemos pensar en una lotería simple como una variable aleatoria caracterizada por/siguiendo esta distribución.

Dejemos que $L'$ , $L''$ y $L'''$ sean tres de estas variables aleatorias. Las preferencias de un tomador de decisiones que obedece el axioma de independencia satisfacen

$$L \succsim L' \;\;\text {if and only if}\;\; aL+(1-a)L'' \succsim aL' + (1-a)L'',\;\; a\in (0,1)$$

Tenga en cuenta que el Axioma de la Independencia habla de preferencias sobre variables aleatorias . $L \succsim L'$ se traduce como "prefiero la variable aleatoria $L$ a la variable aleatoria $L'$ ", que más detalladamente significa "prefiero que mi suerte esté sometida a la incertidumbre representada por la variable aleatoria $L$ que a la incertidumbre representada por la variable aleatoria $L'$ ." No preguntamos por qué el responsable de la toma de decisiones prefiere eso. No preguntamos cuál es la relación estadística entre ambos, simplemente tomamos la declaración de preferencia como un dato primitivo. Entonces, decimos que según el axioma de independencia, "si esto es así, entonces la relación de preferencia RHS también es válida, y viceversa".

¿Cómo vamos a traducir verbalmente la expresión $aL+(1-a)L''$ o $aL' + (1-a)L''$ ? El La cuestión crucial aquí es la interpretación de $a$ así como a qué operación matemática corresponde la expresión $aL$ se traduce en .

¿Qué es? $a$ ? ¿Es una fijo, determinista ¿"Coeficiente de mezcla"? ¿O se trata de un probabilidad y así $aL+(1-a)L''$ es un compuesto ¿Apostar?

La distinción es, de nuevo, crucial: si $a$ es un constante y $aL$ representa una multiplicación de valores con los valores (resultados) $L$ toma, entonces $aL+(1-a)L''$ es una combinación convexa simple de dos variables aleatorias, y análogamente para $aL' + (1-a)L''$ . Pero entonces, no podemos defender racionalmente el Axioma de Independencia, justamente porque puede haber una dependencia estocástica entre las tres loterías simples tal que puede invertir la preferencia entre las dos combinaciones convexas. Además, cuando $aL$ significaría "multiplicación de la variable aleatoria $L$ por $a$ ". Pero este no es el caso (Ver este puesto en cuanto a la interpretación de $aL$ ).

La "elección óptima de la cartera" (que por un comentario parece ser la preocupación del OP), entra en ese marco, y podemos ver que no puede vincularse al Axioma de Independencia.

Siguiendo, nos lleva necesariamente a ver $a$ como algo más que una constante. De hecho, se trata como una probabilidad, y por tanto la mezcla como una apuesta compuesta. ¿Una apuesta compuesta es también una variable aleatoria? Lo es, pero de distinta naturaleza: si $a$ se pretende reflejar una probabilidad, aparece una nueva fuente de aleatoriedad. $a$ aquí está la "probabilidad de éxito" de un rv de Bernoulli, digamos $B$ que, además, es estadísticamente independiente de las tres loterías simples. Pero entonces, ex ante, estamos viendo esencialmente la variable aleatoria

$$B\cdot L + (1-B)\cdot L'',\;\; B \sim Bern(p=a)$$

y lo mismo para la otra combinación (y esta es la forma correcta de escribirlo, en la notación de la estadística matemática). Aquí el axioma de la independencia adquiere cierta justificación intuitiva:

"Supongamos que usted prefiere $L$ a $L'$ . Entonces, si te preguntaran "¿qué prefieres prefieres: ser sometido a "cualquiera $L$ o $L''$ " con alguna estructura de probabilidad estructura de probabilidad (el $B$ ), o ser sometido "a $L'$ o $L''$ "con la misma probabilidad"? Parece razonable decir "como prefiero $L$ a $L'$ entonces prefiero la situación en la que $L$ está presente, en lugar de la que $L'$ está presente".

Desafortunadamente, esta discusión no se hace explícitamente en los libros de microeconomía que conozco, y además la notación estándar es con el $a$ en lugar de con la rv de Bernoulli.

A veces se discute sobre el tema. Consideremos, por ejemplo Mas-Colell, Whinston-Green, p. 172. Después de enunciar el Axioma de la Independencia en la p. 171, escriben (la negrita es mía)

"Supongamos, por ejemplo, que $L \succsim L'$ y $a=1/2$ . Entonces $aL + (1-a)L'"$ puede considerarse como la lotería compuesta que surge de un lanzamiento de moneda en la que el responsable de la toma de decisiones obtiene $L$ si las cabezas suben y $L''$ si lo hace Cola".

Pero esta descripción dice esencialmente que $a$ aquí está la variable aleatoria $B$ y no un coeficiente de mezcla determinista fijo.

Y unas líneas más abajo

"En la teoría de la demanda de los consumidores, por ejemplo, no hay ninguna razón para creer que las preferencias de un consumidor por varios conjuntos de bienes 1 y 2 sean independientes de las cantidades de los demás bienes que (...) Sin embargo, en el presente contexto (...) este otro resultado, $L''$ debería ser irrelevante para su elección porque, en contraste con el contexto de los consumidores, él no no consumir $L$ o $L'$ juntos con $L''$ sino más bien, sólo en cambio de la misma (si $L$ o $L'$ es el resultado realizado)"

Esto dice esencialmente de nuevo que $a$ en realidad no es una constante de mezcla, sino que representa una variable aleatoria binaria independiente de las loterías simples (nuestro $B$ ). Lamentablemente, la notación utilizada (el $a$ ) es una notación normalmente reservada para las constantes. Además, la expresión $aL$ no implica la multiplicación de $L$ por alguna constante $a$ pero es equivalente a la variable aleatoria producto $B\cdot L$ con $B$ una variable aleatoria Bernoulli y $P(B=1) = a$ .