Importancia de Muestreo - donde el centro de la distribución de muestreo?

Question

Considere la posibilidad de un Monte Carlo (MC) aproximación a una call Europea con BS parámetros de $r = 0.05, \sigma = 0.4, T = 10, S_0 = 50$ y $K = 95$. Considere los siguientes resultados, cada uno de 1 millón de puntos:

1. llanura MC: $\$21.6901 \pm \$0.1735$
2. importancia de muestreo con el muestreo de la media de $S_T = K$: $\$21.7161 \pm \$0.1511$
3. importancia de muestreo el muestreo mediana de $S_T = K$: $\$21.8104 \pm \$0.0650$
4. importancia de muestreo el muestreo modo de $S_T = K$: $\$21.7801 \pm \$0.0210$

donde $\pm$ es de un 95% de intervalo de confianza. El BS precio es de $\$21.7766$.

Parece que ajuste el modo de muestreo de $S_T$ a $K$ que ofrece la mayor reducción de varianza, pero esta es una regla general?

De hecho, estoy un poco sospechoso de la importancia de muestreo, porque cuando yo uso más "razonable" de los parámetros, la importancia de muestreo a veces aumenta la varianza. De hecho, de nuevo con 1M de puntos, pero el uso de $r = 0.05, \sigma = 0.2, T = 1, S_0 = 50$ y $K = 50$ I get

1. llanura MC: $\$5.2192 \pm \$0.0144$
2. importancia de muestreo con el muestreo de la media de $S_T = K$: $\$5.2162 \pm \$0.0197$
3. importancia de muestreo el muestreo mediana de $S_T = K$: $\$5.2133 \pm \$0.0173$
4. importancia de muestreo el muestreo modo de $S_T = K$: $\$5.2207 \pm \$0.0136$

con BS precio $\$5.2253$.

Para la llanura de vainillas, hay una buena regla en cómo elegir la distribución de muestreo? (llanura de vainillas, ya que son más manejables para mí :))

Answer 1

importancia de muestreo es bien conocido por ser difícil. Ver la extensa discusión en Glasserman del libro.

Supongo que son simplemente meanshifting y se multiplica por la relación de la normalidad de las densidades. Para este tipo de problema, yo uso una más estratificado algoritmo lugar y la fuerza de cada camino para terminar en el dinero. Para ello me gustaría calcular el uniforme que va a la huelga y cambiar la escala de los uniformes a estar por encima de ella. Me gustaría luego se multiplica por la probabilidad de este evento para compensar.

Answer 2

Dadas dos representaciones: $$ C = E_f[\varphi(X)] = \int \varphi(x) f(x)dx = \int \varphi(x) \frac{f(x)}{g(x)}g(x)dx = E_g[\varphi(X)\frac{f(X)}{g(X)}] $$ La diferencia de las desviaciones de la MC estimadores asociados con la expresión de dos es $$ Var[\widehat{C}^f_N] - Var[\widehat{C}^g_N] = \frac{1}{N}\int \varphi(x)^2 \left(1 - \frac{f(x)}{g(x)}\right) f(x)dx $$ Queremos que esto sea positivo para la importancia de muestreo para mejorar la estimación.

En su caso, usted puede calcular explícitamente esta variación de la ganancia mediante la configuración de $\varphi(x) = S_0(e^x - e^k)_+$ (donde $k =\ln(K/S_0e^{rT})$ es el registro moneyness adelante) y $f$, $g$ gaussianas de los parámetros de $(-\sigma^2/2,\sigma^2)$ y $(\mu\tau^2/2,\tau^2)$.