Comportamiento del consumidor con demanda limitada

Question

Supongamos que existe una función de demanda lineal $D(p)$ que describe la demanda de un consumidor individual. Esto se deriva de una función de utilidad o simplemente se observa, pero supongamos que es correcto. Supongamos ahora que el producto está disponible al precio $p$ pero la tienda insiste en que cada consumidor compre una cantidad mínima que en realidad es mayor que $D(p)$ pero sólo por muy poco.
Diga que es $D(p) + \epsilon$ , donde $\epsilon < D(p)/100$ .

¿Puedo decir sin más suposiciones que dadas las opciones de comprar una cantidad $q$ donde $q \in \left\{0\right\} \bigcup \left[D(p) + \epsilon,\infty\right)$ el consumidor optará por comprar $D(p) + \epsilon$ ?

Mi argumento es que esto maximizará su excedente de consumo dada la restricción de $q$ . Como he especificado que se trata de una función de demanda lineal y $\epsilon < D(p)/100$ puede hacer los cálculos, pero es fácil ver que el excedente será positivo para cualquier función de demanda continua dado un tamaño suficientemente pequeño $\epsilon$ .

¿Es esta una línea de argumentación aceptada?

En la mayoría de los modelos se acepta que los consumidores buscan maximizar su utilidad. Sin embargo, no estoy seguro de que se pueda argumentar en ausencia de una función de utilidad que la maximización del excedente es el objetivo.
Una solución sería especificar una función de utilidad casi lineal que soporte $D(p)$ pero me gustaría evitar esto si es posible.

Answer 1

En un espacio de dos bienes, inicialmente el consumidor maximiza $U(x,z)\;\; s.t. \;\;p_xx+p_zz =I$ y suponemos que obtiene la solución $(x^*, z^*)$ en función de los precios y la renta.

En el caso restringido, el consumidor elegirá $(0, \tilde z)$ o $(x^*+\epsilon, z'$ ), para algunos $\epsilon >0 $ siempre agotando su presupuesto, así que en particular, $\tilde z = I/p_z$ . Para que el consumidor siga optando por comprar una cantidad estrictamente positiva de $x$ debe ser el caso que

$$U(x^*+\epsilon, z') > U(0, \tilde z)$$

Aplicar una aproximación de primer orden en torno a $(x^*, z^*)$ sin ignorar los restos, queremos

\begin{align} U(x^*, z^*) + U_x(x^*)\cdot \epsilon + U_z(z^*)(z'-z^*) + R_{\epsilon} &\\> U(x^*, z^*) + U_x(x^*)(-x^*) + U_z(z^*)(\tilde z-z^*) + R_0 \end{align}

Simplificar y reordenar, queremos

$$U_x(x^*)(x^*+\epsilon) + R_{\epsilon} > U_z(z^*)(\tilde z-z') + R_0 $$

Lo sabemos por la optimización sin restricciones, $U_x(x^*)/U_z(z^*) = p_x/p_z$ así que

$$\frac {p_x}{p_z}(x^*+\epsilon) + \frac {R_{\epsilon}}{U_z(z^*)} > \left(\frac{I}{p_z}-z'\right) + \frac {R_0}{U_z(z^*)} $$

Multiplique todo por $p_z$ ,

$$p_x(x^*+\epsilon) + p_z\frac {R_{\epsilon}}{U_z(z^*)} > I - p_zz' + p_z\frac {R_0}{U_z(z^*)} $$

pero $p_x(x^*+\epsilon) + p_zz' = I \implies p_x(x^*+\epsilon) = I-p_zz'$ por lo que nos queda el requisito de que (ignorando los términos positivos)

$$R_{\epsilon} > R_0 $$

para que el consumidor pueda elegir $x^*+ \epsilon$ y no $0$ para $x$ .

Nótese que lo anterior tiene en cuenta también los signos de los residuos, no se trata sólo de sus magnitudes absolutas.

Ahora volvamos a nuestras expansiones de primer orden. Sabemos que ambos paquetes de candidatos producen utilidades menores que $U(x^*, z^*)$ porque eran factibles en el caso no restringido, y no fueron elegidos.

Al observar la expansión de $U(0, \tilde z)$ entonces concluimos que tenemos

$$U_x(x^*)(-x^*) + U_z(z^*)(\tilde z-z^*) + R_0 < 0 $$

$$\implies U_z(z^*)\cdot \Big[(U_x(x^*)/U_z(z^*))\cdot(-x^*) + \tilde z-z^*\Big] + R_0 < 0$$

$$\implies \frac {U_z(z^*)}{p_z}\cdot \Big[-p_xx^* + p_z\tilde z-p_zz^*\Big] + R_0 < 0$$

Pero $-p_xx^* -p_zz^* = -I$ y $p_z\tilde z =I$ por lo que el término entre paréntesis es cero. Por lo tanto, concluimos que

$$R_0 <0$$

Si miramos ahora la expansión de $U(x^*+\epsilon, z')$ sabemos que tenemos

$$U_x(x^*)\cdot \epsilon + U_z(z^*)(z'-z^*) + R_{\epsilon} < 0$$

Realizando las mismas manipulaciones que antes obtenemos también aquí que

$$R_{\epsilon} < 0$$

Así que la condición para comprar $x^*+\epsilon$ puede reescribirse como

$$|R_{\epsilon}| < |R_0|$$

Esto formaliza un poco la noción de que si $\epsilon$ es "suficientemente pequeño", $R_{\epsilon}$ será menor en términos absolutos que $R_0$ ya que la aproximación a la misma función será "mejor", por lo que observaremos $x^*+\epsilon$ y no $0$ . Pero también nos dice lo mismo que los gráficos de la otra respuesta, que no hay una única respuesta general al asunto.

Answer 2

Parece que el consumidor se enfrenta a una restricción adicional exógena en su problema de optimización, que restringe el conjunto factible para el bien en cuestión, digamos $x$ . Lo damos por hecho: el consumidor comprará o bien cero o al menos lo que la tienda exija como mínimo, digamos $\bar x$ . No hay otras opciones disponibles. Pero esto significa que el consumidor debe resolver de nuevo su problema de optimización, incorporando esta restricción adicional y su efecto en el conjunto factible - la función de demanda "inicial" ya no es relevante, porque representa una solución a un problema que acaba de ser alterado.

¿Cuál será el resultado?

Asumiendo las preferencias "habituales", dejemos una función de utilidad de dos bienes $U(x, z)$ . entonces, gráficamente,

La elección de comprar cero enviará al consumidor a un nivel de utilidad aún más bajo que el que le impone el requisito de la cantidad mínima.

EDITADO por denesp: Pero, ¿qué pasa con este gráfico?

RESPUESTA : Al fin y al cabo, nos dice lo que deberíamos esperar: cuanto menor sea la cantidad demandada en la solución sin restricciones, y cuanto mayor sea la distancia de esta solución con respecto a la cantidad mínima requerida por la tienda, más posible será que el consumidor opte por comprar cero al final. Por tanto, parece que no hay una respuesta única a la pregunta general, ni siquiera bajo las preferencias "habituales". Intuitivamente, por supuesto, si la distancia es "muy pequeña" y la solución sin restricciones no es "muy pequeña" para empezar, esperamos que las preferencias habituales lleven al consumidor a comprar el poco más que requiere la tienda.

Tal vez todo esto podría convertirse en una descripción rigurosa explotando las longitudes medidas en la restricción presupuestaria entre, el paquete cero y la solución no restringida, y entre la solución no restringida y la cantidad mínima requerida por la tienda.