Considere el proceso,
$$ dX_t=(-aX_t+b(1-X_t))dt + \sqrt{X_t(1-X_t)}dW_t $$
¿Cómo puedo demostrar que la distribución estacionaria para la transición a la densidad de una distribución beta?
He intentado ampliar la correspondiente prueba de Kolmogorov hacia Adelante Ecuación, pero parece demasiado difícil de resolver la ecuación.
Hay un acceso directo de todo el Avance de la Ecuación cuando usted está buscando para la distribución estacionaria. Me deja escribir $$ dX = \mu(X)dt +\sigma(X)dW $$ para $$ \mu(x)=b(1-x)-ax\ \text{ y }\ \sigma^2(x)=x(1-x) $$
El Avance de la Ecuación de hecho, los estados que la distribución estacionaria $p(x)$ será satisfecho por $\parcial p/\parcial t = 0$, por lo tanto $$ \frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}\left[\sigma^2(x)p(x)\right] - \frac{d}{dx}\left[\mu(x)p(x)\right] = 0 $$
El truco es tomar un diferencial como un factor común y escribir $$ \frac{d}{dx} \left\{ \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[\sigma^2(x)p(x)\right] - \mu(x)p(x) \derecho\}= 0 $$ Entonces, el término en los apoyos serán una constante (es derivada es cero), y nos puede llevar a ser cero. Entonces estamos ante el primer fin de la educación a distancia $$ \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[\sigma^2(x)p(x)\right] = \mu(x)p(x) $$ La solución de este rendimientos de la distribución estacionaria hasta la normalización constante. La solución es realmente dada por $$ p(x) \propto \sigma^{-2}(x) \exp\left( \int^x \frac{2\mu(u)}{\sigma^2(u)} du \derecho) $$
El de arriba tiene para cualquier proceso. En su caso particular, la integral se convierte en $$ \int^x \frac{2b(1-u)-2au}{u(1-u)} du = 2b \int^x \frac{du}{u} -2a\int^x \frac{du}{1-u} = \log \left( x^{2b} (1-x)^{2a} \derecho) $$
Por lo tanto, en general la distribución estacionaria es la Beta con parámetros de $(\alpha,\beta)=(2b,2a)$ $$ p(x) \propto x^{2b-1} (1-x)^{2a-1} $$
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