Descuento de los activos de riesgo proceso estocástico problema

Question

$S_t$ es la variable aleatoria que representa el riesgo del precio de los activos en vez de $t$.

M_t es el de los activos libres de riesgo. Ellos se rigen por las ecuaciones

$\frac{dS_t}{dt}=\mu dt + \sigma dZ_t$ y

$dM_t = rM_t dt$

donde $Z_t$ es el movimiento Browniano. Si definimos el descuento de los activos de riesgo por $S_t^{*}=S_t/M_t$. ¿Cómo es el proceso $S_t^{*}$ a estar regida por

$\frac{dS_t^{*}}{dt}=(\mu-r) dt + \sigma dZ_t$ ?

No veo por qué restar $ide$.

Answer 1

$$ \textbf{Prefacio} $$ Estoy asumiendo registro de activos normal, pero esto no es claro a partir de la pregunta? O más bien me han interpretado mal la pregunta!

Así como yo lo veo de una manera puramente ejercicio de matemáticas. $$ d\left(\dfrac{S_t}{M_t}\right) =\frac{1}{M_t}dS_t - \frac{S_t}{M_t^2}dM_t +O(dt^2) $$

usando el lema de Ito.

Entonces podemos sub en el original procesos de rendimientos

\begin{align} d\left(\dfrac{S_t}{M_t}\derecho)&=&\frac{1}{M_t}S_t\left(\mu dt + \sigma dZ_t\derecho) - \frac{S_t}{M_t}\frac{1}{M_t}\left(M_t r dt\derecho)\\ &=& S^{*}_t\left(\mu dt +\sigma dZ_t\derecho) - S^{*}_trdt \\ &=& S^*_t\left[(\mu-r)dt+\sigma dZ_t\derecho] \end{align}

o, finalmente, $$ \frac{dS^*_t}{S^*_t} = (\mu-r)dt+\sigma dZ_t $$