Sin ofender pero va a ser mucho más complicado de lo que piensas... ni siquiera estoy seguro de que usted está familiarizado con el riesgo de los precios aplicados en el primer lugar? Voy a tratar de dar algunas pistas.
Esta seguridad se llama una cesta de opción. En la parte superior de la multi-activos de la característica, las hay que no trivial mecanismos incrustado en el contrato que usted menciona:
- un auto que se puede llamar de función, lo que significa redención anticipada puede suceder si se cumplen ciertas condiciones en la discreta observación de fechas especificado como parte del contrato.
- una compo/quanto característica. Debido a que los índices individuales no están denominados en la misma moneda, ya sea de definir la canasta de $t$-valor por la conversión de cada individuo índice s $t$-valor en una moneda de referencia (compo) o simplemente ver estos índices de valores como la llanura de los "números" y expresar su suma ponderada fijos en una moneda de referencia, independientemente de la original denominaciones (quanto).
Vamos a olvidarnos de la auto-exigible y quanto/compo características (como sería necesario un post de su propio ser abordados correctamente) y se centran sólo en la cesta de la parte por el momento.
La omisión de estas características hace que la rentabilidad puramente Europea, es decir, que sólo depende de la terminal de valor de la canasta ($T$valor). Vamos a denotar por $\phi(B_T)$, donde en su caso $\phi$ se parece a la rentabilidad de un puesto (o, posiblemente, una hacia abajo y en el puesto no está claro a partir de su explicación).
Supongamos también determinista y constante de las tasas de interés en lo que sigue, junto con el proporcional de los dividendos en aras de la claridad. El modelo de las categorías I de la lista de abajo solo el reflejo de mi propio punto de vista, no hay diferencia en la práctica.
Precios 101
Bajo el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$ el precio de una opción está dada por:
$$ V_0 = e^{-r T} \mathbb{E}_0^\mathbb{Q} \left[ \phi(B_T) \right] $$
aquí
$$B_t = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N S_t^{(i)} $$
el $t$-valor de la canasta, $r$ la tasa libre de riesgo (tasa a la que el dinero puede ser depositado en el mercado de dinero, aquí se puede tomar el EONIA la curva de descuento, por ejemplo).
Matemáticamente, el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$ está definida de tal manera que:
$$ F(0,T) = \mathbb{E}_0^\mathbb{Q}[ S_T ] $$
donde $F(0,T)$ es el precio a plazo en $T$ de la equidad de $S$ como se ve de $t=0$.
Hay un montón de teoría, escondido detrás de las últimas ecuaciones, se los recomendaría a investigar de que el uso de un buen libro de referencia, por ejemplo, Shreve. Tal vez este post es un buen comienzo también. De todos modos, la consecuencia es que su modelo de tiempo debería leer algo como:
$$ \frac{dS_t^{(i)}}{S_t^{(i)}} = \frac{\partial \ln F^{(i)}(0,t)}{\partial t} dt + \sigma^{(i)}(...) dW_t^{(i),\mathbb{Q}} $$
con una cierta dependencia de la estructura entre la Browniano movimientos de conducción de la persona índices de los precios.
La Cesta De Precios De 101
De los de arriba se ve que:
$$ V_0 = e^{-rT} \int_0^\infty \phi(B_T) p(B_T) dB_T $$
en otras palabras, si usted conoce la distribución de probabilidad de $B_T$ termine, ya que puede: (1) realizar una cuadratura numérica y obtener el precio de la opción (2) de la muestra de la terminal de distribución y calcular la expectativa mediante simulaciones de Monte Carlo. (1) es cuando $p(B_T)$ es conocido en forma cerrada, (2) es más general.
Es sencillo mostrar que los 2 primeros momentos de $B_T$ en $\mathbb{Q}$ son:
$ A$ B(0,T) = \mathbb{E}_0^\mathbb{Q}[B_T] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N F^{(i)}(0,T) $$
(es decir, la suma de las expectativas)
$$ \sigma^2_B = \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i=1}^N \sigma^{2,(i)} + 2 \sum_{j=1}^i \rho_{ij} \sigma^{(i)} \sigma^{(j)} \right) $$
(es decir, la suma de las covarianzas)
[Modelo 1]
Se asume que $B_T$ es log-normal con momentos de primer orden dada por el superior. Esto es una mera aproximación , ya que sabemos que la suma de $N$ log-normal de las variables no es una log-normal. Pero permite calcular el precio de una cesta con el BS fórmula:
$$ V_0 = e^{-rT} ( B(0,T) N(d+) - K N(d-) ) $$
$$ d_\pm = \frac{\ln\left(\frac{B(0,T)}{K}\derecho) \pm \frac{1}{2}\sigma^2_B T}{\sigma_B \sqrt{T}} $$
[Tipo De Modelo 2]
El uso de un desplazado log-normal para aproximar $\phi(B_T)$, o cualquier otra distribución conocida para esa materia. La idea es que usted ya sabe que los 2 primeros teóricos momentos de $B_T$ y fácilmente puede escribir la tercera y hasta la cuarta momentos utilizando el estándar de cálculo. Usted, a continuación, ajuste la distribución conocido a lo desconocido distribución de $B_T$ por la coincidencia de sus momentos. Esto se conoce como momento de coincidencia. En el caso de un desplazado lognormal, esto conduce a una forma cerrada de la fórmula.
[Tipo De Modelo 3]
Considerar el verdadero marginales de cada activo individual $S_t^{(i)}$ es decir,
$$ p^{(i)}(x) = \frac{d F^{(i)}(x)}{d x} = \frac{d \mathbb{Q}\left(S_T^{(i)} \leq x\right)}{ dx} $$
donde $F^{(i)}$ es el $i^{th}$ de los activos de la función de distribución acumulativa.
Se puede inferir que la anterior neutrales al riesgo probabilidades de lista de opción de los precios utilizando el Breeden-Litzenberger idendtity, ver aquí.
Ahora que usted ha identificado las distribuciones marginales de cada uno de los activos $S_t^{(i)}$, es necesario definir su dependencia de la estructura, de modo que usted puede finalmente obtener su distribución conjunta de la que usted será capaz de inferir la distribución de $B_t$ desde:
$$ p(B_t \a) = \int_{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \en A} p\left(x_1,...,x_N\derecho) dx_1 ... dx_N $$
Usted puede utilizar cúpulas, a la forma de la distribución conjunta de $F^B(x)$ en el conocimiento de los marginales $F^{(i)}(x)$.
[Cesta de modelo $\infty$]
Por supuesto, hay muchas variaciones de los métodos anteriores
Dependiendo de la elección de cúpulas utilizados en el modelo de los 3 de arriba por ejemplo. Gauss es usualmente la mejor opción, pero usted puede elegir cualquier otra dependencia de la estructura. Uno que explica el hecho de que las correlaciones explotar cuando el mercado se bloquea parece una mejor opción. Ver el problema de la correlación de sesgo.
Usted podría utilizar locales volatilidad + instantáneo correlaciones como un reemplazo para el acoplamiento individual marginales con una cópula Gaussiana. La elección de los diferentes cúpulas, a continuación, asciende a la definición de los diferentes locales de correlación de las estructuras. Este sigue siendo un tema de investigación, véase el trabajo de Langnau, Guyon etc. en este área.
- Tenga cuidado con descorrelación problemas y la famosa instantánea frente de la terminal de correlación de debate
[Detalles adicionales]
El precio en el auto-callable característica puede ser interesante establecer un híbrido de capital-de las tasas de modelo (es decir, trabajar con estocásticos de tipos de interés).
Por la misma razón, también podría ser útil considerar discretos pago de dividendos en efectivo en lugar de discretos proporcional de los dividendos.
El precio en el compo de la característica que usted necesita saber el FX forwards. El precio en el quanto característica que usted necesita saber el FX volatilidades (véase quanto deriva de ajuste), y a veces más, dependiendo de si respecto de la volatilidad bursátil como un proceso estocástico o no.
[La aplicación]
Usted puede preguntarse qué modelo de su aplicación corresponde. Suponiendo que utilizó el adecuado forward curvas para construir el riesgo-neutral de las derivas de los índices individuales + utiliza una volatilidad implícita número (es decir, no las cantidades estimadas por el mundo real de la medida $\mathbb{P}$ como las previsiones de rentabilidad y volatilidad histórica, pero en lugar de cantidades a deducir de los mencionados opción de precios proporcionados por debajo de $\mathbb{Q}$), lo que hizo que corresponde a postular la log-normal marginales combinan a través de una cópula Gaussiana.
Esto es entre el modelo 1 (que es peor que el tuyo porque se supone $B_t$ es registro-normalmente distribuida, pero exhibe correcta 2 primeros momentos) y el modelo 3 (que es mejor que la tuya, porque la verdad implícita maringals y no una log-normal de la asunción de los marginales).
Buena suerte
