Los agujeros negros en la práctica: Cobertura Delta

Question

Desde el Página de Wikipedia sabemos que la opción de compra como ejemplo es el precio a través de la cobertura del delta.

$$ \Pi =-V+V_SS$$

y más $[t,t+ \triangle t]$

$$ \triangle\Pi =- \triangle V+V_S \triangle S$$

Mis preguntas son:

1. ¿Es matemáticamente riguroso usar $ \triangle $ notación en la derivación de la fórmula BS?

2. ¿Es Delta-Hedging siempre la mejor estrategia de trading en el modelo BS? ¿Qué hay de los otros modelos de opciones/derivados? Si no, ¿cómo encontrar realmente las mejores estrategias de trading?

3. En caso afirmativo, ¿cómo implementarlo estadísticamente?

Answer 1

1.) en los libros de texto generalmente diferenciales estocásticos $d$ se utiliza lo que es riguroso

2.) la cobertura delta en el mundo de Black Scholes es perfecta, ya que es la única forma de eliminar completamente el riesgo en un mercado sin fricciones con una cobertura continua

3.) en la práctica se utiliza generalmente la cobertura discreta por delta-hedging y gamma-hedging , ejemplo de implementación estadística en python está aquí: simulación de cobertura delta con python

Answer 2

El $\Delta$ Sólo hay que definir la diferencia horaria que se está considerando. Para formular correctamente la ecuación diferencial hay que enviar $\Delta$ a cero, es decir $lim_\Delta\rightarrow 0 $

Para entender el significado de la cobertura Delta, hay que entender la composición de la cartera. Como has dicho, es una posición corta en Derivados y $\Delta$ posición larga en el activo subyacente. Esta cartera anula exactamente el término aleatorio $dS$ con el proceso de Wiener entre sí dentro del intervalo de tiempo $\Delta t$ . Sin embargo, $\Delta$ depende del intervalo de tiempo que se considere y éste puede variar durante la evolución temporal. Por lo tanto, también es necesario cubrir el cambio dependiente del tiempo de $\Delta$ que se denomina Gamma-Hedging.

El método de cobertura con otros modelos es similar. Dado que el cambio del derivado y el subyacente son generados por el mismo Proceso de Wiener, siempre se puede diseñar un método de cobertura para cancelar el término aleatorio, es decir Para el activo: $$dS=\mu dt+ \sigma dW$$ Para la derivada: $$dV=\mu_V dt+ \sigma_V dW$$ Considere que la derivada V (es decir, las opciones) no tiene por qué ser una derivada (en sentido matemático). Pero esto debería demostrar la idea. La idea es sólo para encontrar una cartera para cancelar el $dW$ .

Así que puede ver, que cancelamos completamente nuestra incertidumbre (en el caso ideal), bajo la medida de riesgo neutral, el cambio del valor de su cartera se basa completamente en el valor temporal de su dinero. Si usted es neutral al riesgo, esta es la mejor estrategia de negociación.

La aplicación más habitual es la de los métodos de diferencias finitas y la simulación de Monte-Carlo. Como el $\Delta$ es una derivada con respecto a un Ito-Proceso, es necesario resolver primero esta Differentialequation por métodos de diferencias finitas y luego simular su trayectoria por Monte-Carlo-Simulation.