¿La tasa de crecimiento de una función de producción neoclásica convergen como todos los factores de entrada crecer con constante, pero diferente de las tasas de crecimiento?

Question

Supongamos que tenemos una función de producción neoclásica con N entradas

$F(x_t^1,...,x_t^N)$

Todos los factores de entrada crecer en tiempo continuo, con una constante, pero no idénticas a las tasas de crecimiento $g^j$. Se asume que $g^1 \leq g^2 \leq ... \leq g^N$. La tasa de crecimiento de $F$ es entonces

$\hat{F}=\sum_{j=1}^N \varepsilon_{F,x^j} g^j$

con $\varepsilon_{F,x^j}$, siendo la elasticidad de $F$, con respecto a $x^j$. Dado que $F$ es lineal homogénea sé que $\sum_{j=1}^N \varepsilon_{F,x^j}=1$ sostiene. $\frac{\partial F}{\partial x^j}>0$ y $\frac{\partial^2 F}{\partial {x^j}^2}<0$ implica $\varepsilon_{F,x^j}>0$. Por lo tanto

$g^1 \leq \hat{F} \leq g^N$ $\forall t$

Mi pregunta es: Es $\hat{F}$ van a converger como $t \to \infty$? Me resulta difícil imaginar que la elasticidad de la fluctuar (periódicamente) alrededor de algún valor como todos los de entrada factor de relaciones, vaya a cero o a infinito (o permanecer constante todo el tiempo en caso de igualdad de las tasas de crecimiento).

He intentado mostrar que las elasticidades todos convergen. Sospecho que el resultado podría depender del propety que $\frac{\partial^2 F}{\partial x_j \partial x_k}>0$ para $k \neq j$, que siempre se mantiene en el caso de dos bienes, pero no estoy seguro de eso.

Gracias a todos de antemano por su ayuda! Si mi inglés parece un poco torpe, es porque soy alemán. Pero espero que entiendas el problema de todos modos. :)

Answer 1

No estoy seguro de que las elasticidades convergen arbitraria de las tasas de crecimiento.

Aquí es un tratamiento de la cuestión. Los subíndices de $F$ denotar las derivadas parciales. Voy a omitir el tiempo de subíndice. Por definición, la elasticidad de la $i$-ésima entrada es la proporción del producto marginal ($F_i$) por sobre el Promedio del Producto $(F/x_i)$. Así, para una elasticidad para estabilizar intertemporally, debe ser el caso que la tasa de crecimiento del producto marginal es igual a (o iguala el límite con) la tasa de crecimiento de la media de producto.

Para la entrada $x_{1}$ tenemos

$$\frac {d}{dt} F_1 = F_{11}\dot x_{1} +F_{12}\dot x_{2} +...+F_{1n}\dot x_{n}$$

Todas las entradas son estrictamente positivas, por lo que se puede multiplicar y dividir, y también se dividen por $F_1$ para obtener la tasa de crecimiento (denotado por una tilde)

$$\tilde {F_1} = \frac {dF_1/dt}{F_1} = \frac{F_{11} x_1}{F_1}\frac{\dot x_{1}}{x_1} + ... +\frac{F_{1n} x_n}{F_1}\frac{\dot x_{n}}{x_n}$$

La primera relación en la que cada término es la elasticidad de la $F_1$ con respecto a cada entrada, decir $\eta_{1}$. Así,

$$\tilde {F_1} = \sum_{k=1}^n\eta_{1k}g_k $$

y análogamente para las otras entradas.

Girar a la media del producto de la primera entrada, tenemos

$$\frac {d}{dt} (F/x_1 ) = \frac {F_1x_1 - F}{x_1^2}\dot x_1 + \frac {F_2}{x_1}\dot x_2+...+\frac {F_n}{x_1}\dot x_n$$

La manipulación,

$$\frac {d}{dt} (F/x_1 ) = \left[F_1-\frac {F}{x_1} \derecho]g_1 + \frac{F}{x_1}\frac{F_2x_2}{F} \frac {\dot x_2}{x_2}+...+\frac{F}{x_1}\frac{F_nx_n}{F} \frac {\dot x_n}{x_n}$$

$$= \frac {F}{x_1}\cdot \Big( (e_1-1)g_1 + e_2g_2 + ...+ e_ng_n\Big)$$

$$\implica \frac {d(F/x_1)/dt}{(F/x)} = \tilde F - g_1 = \sum_{k=1}^ne_kg_k - g_1$$

Así que para todas las elasticidades para estabilizar (y por $\tilde F$ a estabilizar) queremos que, al menos, finalmente, que

$$ \forall i=1,...,n\;\;\; \sum_{k=1}^n\eta_{ik}g_k = \sum_{k=1}^ne_kg_k - g_i$$

Denota $\mathbf H$ la $n\times n$ la matriz de elasticidades de la marginal de los productos, $\mathbf I_n$ la matriz de identidad, $\mathbf e$ una $n \times 1$ vector que contiene la salida de las elasticidades $e_i$, $\mathbf i$ un vector columna de unos, y $\mathbf g$ el $n \times 1$ vector columna de las tasas de crecimiento de los insumos, podemos escribir las condiciones para que todas las elasticidades a ser estable, de forma compacta , como

$$\big(\mathbf H + \mathbf I_n - (\mathbf i \oplus \mathbf e')\big)\mathbf g =0$$

Tomo nota de que la suma de matrices plazo, no depende en absoluto de las tasas de crecimiento de vectores. Por lo que la anterior condición de ortogonalidad no pueden mantenerse arbitraria $\mathbf g$ (excepto si me estoy descuidando algunos bienes derivados de la homogeneidad de $F$).