¿Cómo encontrar el valor actual de una perpetuidad con una tasa de crecimiento no constante?

Question

Tengo un problema de perpetuidad en el que una organización paga 50 subvenciones de igual valor cada año a perpetuidad, añadiendo 5 subvenciones adicionales cada año (es decir, 55 en el año 2, 60 en el año 3, etc.).

Sólo nos han enseñado a hacer problemas de perpetuidad con una tasa de crecimiento constante (por ejemplo, el pago aumenta un 5% cada año), así que no estoy seguro de cómo tratar éste.

¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Básicamente se quiere calcular $$\sum_{t=0}^{\infty} a_t \cdot d^t$$ donde $d$ es el factor de descuento y donde el valor pagado anualmente aumenta linealmente, es decir $$a_t = a_0 + b \cdot t.$$ Con algunos reajustes $$\sum_{t=0}^{\infty} a_t \cdot d^t = \sum_{t=0}^{\infty} a_0 \cdot d^t + \sum_{t=0}^{\infty} b \cdot t \cdot d^t.$$ La primera mitad es una simple secuencia geométrica como el valor presente de una perpetuidad, por lo que $$\sum_{t=0}^{\infty} a_0 \cdot d^t = \frac{a_0}{1-d}.$$ Para calcular la otra suma utilizaremos un truco. $$\sum_{t=0}^{\infty} b \cdot t \cdot d^t = b \cdot \sum_{t=1}^{\infty} t \cdot d^t.$$ A continuación, escriba $$\begin{eqnarray*} \sum_{t=1}^{\infty} t\cdot d^{t} & = & d + 2\cdot d^2 + 3\cdot d^3 + 4\cdot d^4 + ... \end{eqnarray*}$$ Se puede reordenar esto (debido a la convergencia absoluta) a $$\begin{eqnarray*} \sum_{t=1}^{\infty} t\cdot d^{t} & = & d + 1\cdot d^2 + 1\cdot d^3 + 1\cdot d^4 + ... \\ \\ & & \hskip 11pt + 1\cdot d^2 + 1\cdot d^3 + 1\cdot d^4 + ...\\ \\ & & \hskip 45pt + 1\cdot d^3 + 1\cdot d^4 + ... \\ \\ & & ... \end{eqnarray*}$$ Cada línea en esto es una secuencia geométrica, así que $$\begin{eqnarray*} \sum_{t=1}^{\infty} t\cdot d^{t} & = & \hskip 7pt \frac{d}{1-d} \\ \\ & & + \frac{d^2}{1-d} \\ \\ & & + \frac{d^3}{1-d} \\ \\ & & ... \end{eqnarray*}$$ Que es de nuevo una secuencia geométrica, así $$\begin{eqnarray*} \sum_{t=1}^{\infty} t\cdot d^{t} & = & \frac{d}{(1-d)^2}. \end{eqnarray*}$$ Así que $$\sum_{t=0}^{\infty} a_t \cdot d^t = \sum_{t=0}^{\infty} a_0 \cdot d^t + \sum_{t=0}^{\infty} b \cdot t \cdot d^t = \frac{a_0}{1-d} + \frac{b \cdot d}{(1-d)^2}.$$