¿Por qué la regresión de captura de diferencias en la volatilidad?

Question

Yo lea la siguiente declaración en el libro de python para el análisis de datos, capítulo 11, y me preguntaba si alguien me podría dar la intuición acerca de por qué la regresión tiene este efecto? El propósito del ejercicio es comparar un básico correlación entre microsoft y apple frente a una dinámica de regresión.

One issue with correlation between two assets is that it does not capture differences in
volatility. Least-squares regression provides another means for modeling the dynamic
relationship between a variable and one or more other predictor variables.

Answer 1

Supongo que lo que están tratando de decir aquí es que, suponga que tiene dos series de tiempo $X$ y $Y$ que son exactamente lo mismo, es decir, $X=Y$, la correlación es :

$$\rho_{X,Y}= \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\desbordado{X=Y}{=}\frac{Cov(X,X)}{\sigma_X \sigma_X}=\frac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2}=1$$

Supongamos ahora una serie de tiempo $Z=2 \cdot X$, se tiene:

$$\sigma_Z=2 \sigma_X$$

y

$$Cov(X,Z)=Cov(X,2X)=2 Cov(X,X) = 2 \sigma_X^2$$

Así,

$$\rho_{X,Z}= \frac{Cov(X,Z)}{\sigma_X \sigma_Z}=\frac{2 \sigma_X^2}{2\sigma_X^2}=1$$

El hecho de que $Z$ es dos veces tan volátil como $Y$ no aparece en la correlación de medida.

En la regresión que encajaría:

$$Y_t=\alpha_Y + \beta_Y X_t + \epsilon_t ~ \text{y} ~ Z_t=\alpha_Z + \beta_Z X_t + \epsilon_t$$

Su regresión a dar $\alpha_Y=\alpha_Z=0$, $\beta_Y=1$ y $\beta_Z=2$, lo que muestra que $Z$ y $Y$ tener una relación diferente con $X$.