Desde la referencia, el Whitepaper de Vix de CBOE, encontré la fórmula de VIX.
Hay dos términos. El primero se centra en la información de los contratos de opciones. Y el segundo se centra en la relación entre el índice Forward y el precio de ejercicio.
Además, hay una parte que ilustra el índice Forward.
Estoy confundido con el propósito del segundo término y el índice Forward.
¡Agradezco cualquier ayuda para explicarlo!
**Referencia : https://www.cboe.com/micro/vix/vixwhite.pdf
La respuesta radica en la derivación del VIX, como lo implementa el CBOE.
La derivación básica del VIX fue realizada por Demeterfi et al. (1999), donde utilizaron una "canasta" de opciones para replicar la varianza futura esperada. Esto da como resultado la fórmula: $$\begin{aligned} \mathbb{E}[\mathbb{V}] =& \frac{2}{T} \left[ rT - \left( \frac{S_0 e^{rt}}{S_\star} - 1 \right) - \ln\left(\frac{S_\star}{S_0} \right) \right] \\ &+ e^{rT} \int_0^{S_\star} \frac{1}{K^2} P_0(K) dK\\ &+ e^{rT} \int_{S_\star}^\infty \frac{1}{K^2} C_0(K) dK\\ \end{aligned}$$
Con la tasa libre de riesgo $r$, el tiempo hasta la expiración $T$, $S_0$ el precio inicial de la acción, $S_\star$ un precio de límite y $P$ y $C$ representando opciones de venta y compra con precio de ejercicio $K$ respectivamente.
El CBOE luego aproxima la primera línea por $$ -\frac{1}{T} \left( \frac{F_0}{K_0} - 1 \right)^2 $$ como lo muestra Jiang y Tian (2007). Utilizando integración numérica, las integrales se convierten en las sumas vistas en la fórmula del CBOE.
Entonces de una manera puramente técnica, la respuesta es que se utiliza el precio forward para deshacerse del primer término, haciendo posible el cálculo.
Para una derivación completa del VIX del CBOE con los pasos, puedes buscar el Apéndice A en mi artículo No Model No Cry? en SSRN.
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La replicación ideal se basa en dos integrales sobre opciones fuera del dinero basadas en la descomposición de Carr-Madan. El segundo término corrige la falta de un precio de ejercicio de mercado igual al futuro. En su lugar, se utiliza el precio de ejercicio más cercano por debajo, $K_0$ en su primera ecuación.