¿Es la cuenta del mercado de dinero (MMA) numeraire y la medida forward equivalentes?

Question

Supongamos que tenemos una medida de riesgo neutral $\tilde{\mathbb{P}}$. La cuenta del mercado monetario se da como $M(t) = e^{\int^t_0 R(s) ds}$, mientras que el precio del bono cupón cero en el tiempo $t$ que vence en $T$ se denota como $B(t,T)$.

Entonces, la medida forward se define como la medida con $B(t,T)$ tomado como numerario. Sin embargo, me pregunto si tomar $M(t)$ también convertirá la medida en una medida forward. Si esto no es cierto en general, ¿funciona cuando la tasa de interés es constante como $R(t) = r$? Esto implicaría que $B(t,T) = e^{r(T-t)}$, y $B(0,T) = \frac{1}{M(T)}$ y $B(T,T) = \frac{1}{M(0)}$, lo que parece implicar cierta conexión entre las dos medidas solo al observar la derivada de Radon-Nikodym, $\mathbb{Z}$.

También tengo una pregunta adicional sobre la utilidad de la medida forward. Parece que las medidas forward son útiles en la fijación de precios de opciones porque podemos sacar el descuento para la fórmula de fijación de precios de riesgo neutral para que $V(t) = D(t) \tilde{\mathbb{E}}^F[V(T) | {\cal{F}}(t)]$. ¿Pero hay alguna otra ventaja en usar la medida forward?

Answer 1

Sus preguntas están bien abordadas en este breve documento de Fabrice Rouah: La medida T-forward

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Más específicamente, usando sus notaciones y observando que $B(T,T)=1$ por definición, el cambio de medida entre las medidas $T$-forward ($\mathbb{Q}^B$) y neutral al riesgo ($\mathbb{Q}^M$) está caracterizado por la siguiente derivada de Radon-Nikodym: $$\left. \frac{d \mathbb{Q}^B}{d \mathbb{Q}^M } \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \frac{M(t)B(T,T)}{M(T)B(t,T)} = \frac{M_t}{M_T}\frac{1}{B(t,T)} $$

Sin embargo, por la construcción de la medida de martingala $\mathbb{Q}^M$, prevalece la siguiente relación para el precio de un bono cupón cero \begin{align} \frac{B(t,T)}{M_t} &= E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ \frac{B(T,T)}{M_T} \right] \\ B(t,T) &= E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ \frac{B(T,T) M_t}{M_T} \right] \\ B(t,T) &= E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ \frac{M_t}{M_T} \right] \end{align} donde he utilizado la notación $E_t[.]$ para representar $E[.\vert\mathcal{F}_t]$.

Sustituyendo el resultado anterior en la expresión de la derivada de Radon-Nikodym obtenemos: $$ \left. \frac{d \mathbb{Q}^B}{d \mathbb{Q}^M } \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \frac{M_t}{M_T}\frac{1}{B(t,T)} = \frac{M_t}{M_T}\frac{1}{E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ M_t/M_T \right]} = \frac{1/M_T}{E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ 1/M_T \right]}$$

Cuando las tasas de interés son determinísticas, entonces $$ E^{\mathbb{Q}^M}_t\left[ \frac{1}{M_T} \right] = \frac{1}{M_T} $$ y $$ \left. \frac{d \mathbb{Q}^B}{d \mathbb{Q}^M } \right\vert_{\mathcal{F}_t} = 1 $$ de modo que las medidas $\mathbb{Q}^B$ y $\mathbb{Q}^M$ son perfectamente equivalentes.

Con tasas de interés estocásticas, esto ya no es cierto.

Answer 2

Quizás un detalle menor, pero no es el factor de descuento el que va al frente, sino el precio del bono, por lo tanto $$V(t)=P(t,T) \, E^{F}[V(T)|\mathcal{F}(t)].$$ $P(T,T) = 1$ por lo que esto se puede escribir como $$V(t)=P(t,T) \, E^{F}[V(T) / P(T,T)|\mathcal{F}(t)].$$

Compara esto con $$V(t) = B(t) \, E[V(T)/B(T)|\mathcal{F}(t)]$$ en la medida de la cuenta de efectivo.

Si tienes tasas de interés estocásticas, $B(T)$ es una cantidad estocástica. En una simulación de Monte Carlo, por ejemplo, solo tienes que simular $V(T)$ en el caso de la medida forward, pero $V(T)$ y $B(T)$ en la medida de efectivo. Por lo tanto, reemplazar $B(T)$ con $P(T,T) = 1$ puede ser algo muy atractivo.