Dejemos que $(X_t)_{t\geq 0}$ denotan un movimiento browniano geométrico $$ \frac{dX_t}{X_t} = \mu_X dt + \sigma_X dW^X_t,\ \ \ X(0) = X_0$$ tal que $X_t$ se distribuye de forma lognormal $\forall t > 0$ $$ X_t = X_0 e^{(\mu_X - \frac{1}{2}\sigma_X ^2)t + \sigma_X W_t^X}$$
Dejemos que $(Y_t)_{t\geq 0}$ denotan un Movimiento Browniano Aritmético $$ dY_t = \mu_Y dt + \sigma_Y dW_t^Y,\ \ \ Y(0)=Y_0 $$ tal que $Y_t$ se distribuye normalmente $\forall t > 0$ $$Y_t = Y_0 + \mu_Y t + \sigma_Y W_t^Y $$
Consideremos una correlación instantánea entre los movimientos brownianos impulsores $W^X$ y $W^Y$ $$ \rho := \frac{d\langle W^X, W^Y\rangle_t}{dt} $$
[Propuesta] Especificación de una correlación instantánea $\rho$ entre los dos movimientos brownianos impulsores significa que las dos variables normales $\ln X_t$ y $Y_t$ muestran una correlación terminal $\rho$ .
[Prueba] Para ver esto, observe que \begin{align} \ln X_t &= \ln X_0 + (\mu_X - \frac{1}{2}\sigma^2_X)t + \sigma_X W^X_t \\ &= \ln X_0 + (\mu_X - \frac{1}{2}\sigma^2_X)t + \sigma_X (\rho W^Y_t + \sqrt{1-\rho^2}W^{Y,\perp}_t) \end{align} por lo que la covarianza escribe \begin{align} \text{cov}(\ln X_t,Y_t) &= \text{cov}(\ln X_0 + (\mu_X - \frac{1}{2}\sigma^2_X)t + \sigma_X (\rho W^Y_t + \sqrt{1-\rho^2}W^{Y,\perp}_t), Y_0 + \mu_Y t + \sigma_Y W_t^Y) \\ &= \text{cov}(\sigma_X (\rho W^Y_t + \sqrt{1-\rho^2}W^{Y,\perp}_t), \sigma_Y W_t^Y) \\ &= \text{cov}(\sigma_X \rho W^Y_t, \sigma_Y W_t^Y) + \text{cov}(\sigma_X \sqrt{1-\rho^2}W^{Y,\perp}_t, \sigma_Y W_t^Y) \\ &= \rho \sigma_X \sigma_Y \underbrace{\text{cov}(W^Y_t, W^Y_t)}_{=t} + \sqrt{1-\rho^2}\sigma_X \sigma_Y \underbrace{\text{cov}(W^{Y,\perp}_t,W_t^Y)}_{=0} \\ &= \rho \sigma_X \sigma_Y t \end{align} por bilinealidad del operador de covarianza y utilizando el hecho de que $W^{Y,\perp}_t \perp W^Y_t$ . En paralelo tenemos: $$ \text{var}(\ln X_t) = \sigma_X^2 t $$ $$ \text{var}(Y_t) = \sigma_Y^2 t $$ para que $$ \text{corr} = \frac{\text{cov}(\ln X_t,Y_t)}{\sqrt{\text{var}(\ln X_t)\text{var}(Y_t)}} = \frac{\rho \sigma_X \sigma_Y t}{\sigma_X \sqrt{t} \sigma_Y \sqrt{t}} = \rho $$ que concluye la demostración
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Me parece que estás mezclando correlación instantánea (es decir, la correlación lineal entre los movimientos brownianos que impulsan 2 procesos estocásticos) y correlación de terminales (es decir, la correlación lineal entre dos variables aleatorias, por ejemplo, dos rendimientos logarítmicos). La primera corresponde a la $\rho$ en $ d\langle W_1, W_2 \rangle_t = \rho dt $ y el segundo corresponde a $\rho = \text{corr}(X_1, X_2)$ . Resulta que para 2 activos $X_t$ y $Y_t$ modelado mediante GBMs con $d\langle W^X, W^Y \rangle_t = \rho dt$ entonces $\text{corr}(d\ln(X_t),d\ln(Y_t)) = \rho$ .
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Cuando se observa la dependencia (lineal) entre 2 series temporales la gente suele medir/referirse al correlación de terminales (coeficiente de correlación de Pearson). Sin embargo, cuando usted tiene que modelar la dependencia entre las mismas 2 series de tiempo utilizando un SDE, tendrá que definir / establecer el correlación instantánea coeficiente entre los 2 movimientos brownianos impulsores. Como se ha indicado anteriormente, en el modelo BS ambos valores de correlación son iguales. Sin embargo, en cuanto entra en juego la volatilidad estocástica, esto deja de ser cierto
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@Quantuple - entiendo esto, lo que estoy buscando realmente es sólo algo para usar como una conjetura inicial, o (dependiendo de lo que exactamente estoy modelando) sólo lo utilizan como él. Si quiero obtener $\mathrm{d}\left< W_1,W_2 \right> = \rho \mathrm{d}t$ donde los dos procesos son no ambos GBM, pero uno es absoluto en su lugar, entonces puedo hacer algo como $corr(\mathrm{d}\ln(X_t), \mathrm{d} Y_t) = \rho$ ?