¿Son todas las operaciones de cambio de medida entre medidas de probabilidad equivalentes exponenciales de Doléans-Dade?

Question

Dejemos que $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})$ sea un espacio de probabilidad filtrado, donde $\mathbb{F}=\left(\mathcal{F}\right)_{t\in[0;T]}$ y $\mathcal{F}=\mathcal{F}_T$ . Sea $(W_t)_{t\in[0;T]}$ sea un movimiento browniano con respecto a $\mathbb{F}$ en el espacio de probabilidad dado.

Tenemos el siguiente teorema ( Cálculo estocástico para finanzas II, Modelos de tiempo continuo, p 212 ):

Teorema 5.2.3 Dejemos que $\left(\Theta_t\right)_{t\in[0;T]}$ ser un $\mathbb{F}$ -proceso adaptado. Definir: $$ Z_t=e^{-\int_0^t\Theta_udu-\frac{1}{2}\int_0^t\Theta^2_udW_u} >0, Z:=Z_T $$ $$ \widetilde{W}_t=W_t+\int_0^t\Theta_udu $$ y asumir que (esto es algo más débil que la condición de Novikov): $$ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}\left[\int_0^T\Theta^2_uZ^2_udu\right]<+\infty. $$

ENTONCES

1. $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z]=1$ . (Esto, junto con el hecho de que $Z:=Z_T\geq 0$ garantizar que $Z$ puede ser una derivada de Radon-Nikodym)
2. Bajo la medida de probabilidad definida por $\widetilde{\mathbb{P}}(A)=\int_{A}Z(\omega)d\mathbb{P}(\omega), (\forall)A\in\mathcal{F}$ , $\left(\widetilde{W}_t\right)_{t\in[0;T]}$ es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración $\mathbb{F}$ .

PREGUNTA: Con la notación anterior, sabiendo sólo el hecho de que $\left(W_t\right)_{t\in[0;T]}$ es un movimiento browniano en $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ generar filtración $\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\in[0;T]}$ que $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \widetilde{\mathbb{P}})$ es otro espacio de probabilidad y que $\mathbb{P}\approx \widetilde{\mathbb{P}}$ ¿implica esto necesariamente que el proceso de derivación de Radon-Nikodym $\frac{d\widetilde{\mathbb{P}}}{d\mathbb{P}}|_{t}$ debe de la forma: $$ Z_t=e^{-\int_0^t\Theta_udu-\frac{1}{2}\int_0^t\Theta^2_udW_u} >0, Z:=Z_T $$ donde $\left(\Theta_t\right)_{t\in[0;T]}$ es algo $\mathbb{F}$ -¿proceso adaptado? Si esto es cierto, y $\left(\widetilde{W}_t\right)_{t\in[0;T]}$ es un movimiento browniano en $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \widetilde{\mathbb{P}})$ ¿Implica lo anterior necesariamente que $\widetilde{W}_t=W_t+\int_0^t\Theta_udu$ ?

Answer 1

La respuesta es sí.

Prueba:

Teorema (Radon-Nikodym) Dejemos que $(\Omega, \mathcal{F})$ sea un espacio medible. Sea $\mathbb{P}$ y $\widetilde{\mathbb{P}}$ ser dos $\sigma$ -medidas finitas . Sea $\widetilde{\mathbb{P}}$ sea absolutamente continua con respecto a $\mathbb{P}$ (es decir $\widetilde{\mathbb{P}}\ll\mathbb{P}$ ). ENTONCES: $(\exists)$ medible función $f:\Omega\to[0;+\infty)$ tal que: $$ \widetilde{\mathbb{P}}(A)=\int_A f(\omega)d\mathbb{P}(\omega), (\forall)A\in\mathcal{F}. $$ $f$ es único hasta la indistinguibilidad, es decir, si existe otro $g$ con las mismas propiedades que las anteriores, entonces $f=g, \mathbb{P}-a.s.$ (o $\mathbb{P}$ -a.e.).

Tenga en cuenta que si $\mathbb{P}$ y $\widetilde{\mathbb{P}}$ son medidas equivalentes (denotadas por $\mathbb{P}\approx\widetilde{\mathbb{P}}$ ), entonces $\widetilde{\mathbb{P}}\ll\mathbb{P}$ y $\mathbb{P}\ll\widetilde{\mathbb{P}}$ .

Dejemos ahora $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})$ sea un espacio de probabilidad filtrado, donde $\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\geq0}$ es la filtración. Utilizamos el teorema de Radon-Nikodym para demostrar la siguiente proposición:

Propuesta. Dejemos que $\mathbb{P}\approx\widetilde{\mathbb{P}}$ sean dos equivalentes probabilidad medidas sobre $(\Omega, \mathcal{F}_T)$ un espacio medible de la notación anterior. ENTONCES , $(\exists)$ a estrictamente positivo $(\mathbb{P}, \mathbb{F})$ -martingale $(L_t)_{t\geq 0}$ tal que $$ \widetilde{\mathbb{P}}(A)=\int_A L_t(\omega)d\mathbb{P}(\omega), (\forall) A\in\mathcal{F}_t, (\forall) t\leq T $$ con las propiedades que:

1. $\mathbb{E}_{\widetilde{\mathbb{P}}}[X]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[L_tX]$ para todos $\mathcal{F}_t$ -Medible, no negativo variables aleatorias $X$ cuando $t\leq T$ .
2. $L_0 = 1$
3. $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[L_t]=1, (\forall) t\leq T$ .

Prueba: Sabemos por el teorema de Radon-Nikodym anterior que como $\mathbb{P}\approx\widetilde{\mathbb{P}}$ en $(\Omega, \mathcal{F}_T)$ , entonces debe existir un no negativo, $\mathcal{F}_T$ -variable aleatoria medible $Z$ con la propiedad de que $$ \widetilde{\mathbb{P}}(A)=\int_AZ(\omega)d\mathbb{P}(\omega), (\forall)A\in\mathcal{F}_T $$ Como ya hemos asumido que $\widetilde{\mathbb{P}}$ es un probabilidad medida, lo tenemos: $$ \widetilde{\mathbb{P}}(\Omega)=1=\int_{\Omega}Z(\omega)d\mathbb{P}(\omega)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z]. $$ Como ahora sabemos que $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z]=1$ podemos aplicar (Steve Shreve, Stochastic Calculus for Finance II - Continuous Models, p. 33, Teorema 1.6.1 ) para llegar a la conclusión de que para cualquier variable wandom $X$ que es un valor no negativo y $\mathcal{F}_T$ -medible que tenemos: $$ \mathbb{E}_{\widetilde{\mathbb{P}}}[X]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[ZX]. $$ En particular, para $X=1$ esto nos lleva a: $$ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z]=1. $$ Definamos $L_t=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z|\mathcal{F}_t]$ . Claramente, $(L_t)_{t\geq 0}$ es un $(\mathbb{P}, \mathbb{F})$ -martingale porque para todos $s\leq t$ : $$ \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[L_t|\mathcal{F}_s]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z|\mathcal{F}_t]|\mathcal{F}_s]= \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[L_t|\mathcal{F}_s]=L_s, $$ donde la primera igualdad proviene de la definición de $L_t$ la segunda desigualdad se debe a la ley de la torre, y la tercera igualdad se debe a la definición de $L_s$ . Tomando la expectativa en lo anterior obtenemos la propiedad de que $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[L_t]=1, (\forall)t\leq T$ . Si tomamos $\mathcal{F}_0=\{\emptyset, \Omega\}$ como es habitual, entonces $L_0$ es determinista y $L_0=1$ . Esto demuestra los puntos (2.) y (3.) de la proposición.

Podemos entonces utilizar (Steve Shreve, Stochastic Calculus for Finance II - Continuous Models, p. 211, Lema 5.2.1 ) para demostrar el punto (1.) de la proposición, a saber, que $$ \mathbb{E}_{\widetilde{\mathbb{P}}}[X]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[L_tX],\text{ for all } \mathcal{F}_t\text{-measurable, non-negative, random variables }X,\text{ when }t\leq T. $$ En lo anterior, sustituyamos $1_A$ para $X$ y T para t. Esto demuestra inmediatamente el resto de la proposición. Nótese que a partir de esta respuesta , $L_t$ es $\mathbb{P}$ -a.s. no negativo.

También hay que tener en cuenta que podemos tomar $Z$ sea estrictamente positiva, ya que las dos medidas son equivalentes. Por lo tanto, también podemos tomar una versión de $L_t$ que es estrictamente positivo y esto no cambia nada. Consideraremos en lo que sigue que utilizamos tal $L_t$ . $$\Box $$

Hemos construido arriba el proceso de derivación Radom-Nikodym $(L_t)_{t\geq 0}$ que es un $(\mathbb{P}, \mathbb{F})$ -martingale. Porque $\mathbb{F}$ es generado por $(W_t)_{t\in[0;T]}$ podemos aplicar el teorema de la representación martingala $\Rightarrow (\exists) (\psi_t)_{t\geq 0}$ un $\mathbb{F}$ -proceso medible s.t.: $$ L_t=1+\int_0^t \psi_udW_u. $$ o, alternativamente, que: $$ dL_t=\psi_tdW_t, L_0=1. $$ Como el proceso de derivación de Radon-Nikodym es estrictamente positivo, utilizando el lema de Ito obtenemos: $$ d\log(L_t)=\frac{1}{L_t}dL_t-\frac{1}{2}\frac{1}{L^2_t}d\langle L \rangle_t=\frac{\psi_t}{L_t}dW_t-\frac{1}{2}\frac{\psi^2_t}{L^2_t}dt $$ Desde $L_t$ es estrictamente positivo, podemos simplificar un poco las cosas introduciendo $$ \Theta_t=-\frac{\psi_t}{L_t}. $$ Esto también es un $\mathbb{F}$ -proceso adaptado. Con esta notación, integrando el resultado de la aplicación del lema de Ito y exponenciando obtenemos: $$ L_t=e^{-\int_0^t\Theta_udu-\frac{1}{2}\int_0^t\Theta^2_u dWu}. $$

El resultado también se basa en la unicidad (hasta la indistinguibilidad) de la derivada de Radon-Nikodym (en el teorema R-N).

Así que sí, todos los cambios de medida deben ser de esta forma.