Cómo puedo saber si los 2 diferentes funciones de utilidad representa las mismas preferencias?

Question

Necesito comprobar que $u(x,y)=x^{1/3}y^{1/3}$ representa las mismas preferencias como $v(x,y)=x^3y^3$. Obviamente, estas son completamente diferentes funciones con los diferentes derivados, así que lo estoy comparando? Lo que hace 2 funciones de utilidad representa las mismas preferencias?

Answer 1

Recordemos la definición:

La función $u: X \rightarrow \mathbb{R}$ es $\succeq$ en $X$ si por cualquier $x,y \in X$, entonces $x \succeq y \iff u(x) \geq u(y)$

Podemos demostrar que si $u: X \rightarrow \mathbb{R}$ es $\succeq$ en $X$, entonces para cualquier estrictamente creciente función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, la función $v(x) = f(u(x))$ también representa $\succeq$

(Corto) Prueba: Para cualquier $x,y \in X$, si $u$ es $\succeq$, entonces $x \succeq y \iff u(x) \geq u(y)$ por definición.

Porque $v$ es estrictamente creciente, $f(u(x)) \geq f(u(y)), \implica que v(x) \geq v(y)$.

Por lo tanto $x \succeq y \iff v(x) \geq v(y), \implica v$ es $\succeq$

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En su caso, usted tiene $u(x,y) = x^\frac{1}{3}y^\frac{1}{3}$, y se puede establecer $v(x, y) = (u(x,y))^9 = x^3y^3$, el resultado deseado.

Answer 2

Otro truco es comparar su tasa marginal de sustitución. Si por una similar tasa marginal de sustitución técnica (es decir, los precios relativos) que el rendimiento de la misma en relación a los insumos, a continuación, se representan las mismas preferencias (básicamente es una transformación monotónica de la otra; ver más abajo).

Para la primera de las preferencias de dar, esto es:

$$ \frac{\dfrac{\partial u}{\partial x}}{\dfrac{\partial u}{\partial y}} = \frac{y}{x} $$

Es trivial demostrar que la segunda función de los rendimientos de la misma SEÑORA, por tanto, representan las mismas preferencias.

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Otra manera de ver esto es un aviso de que la optimización de una función $f(x)$ es la misma que la optimización de una transformación monótona de la función. Por lo tanto, aplicar el logaritmo natural a las dos funciones y se obtiene, respectivamente:

$$ \ln u = \frac{1}{3}\left(\ln x + \ln y \right) $$

$$ \ln v = 3\left(\ln x + \ln y \right) $$

Note que $\ln v = 9\ln u$. Por lo tanto, son de hecho el mismo.