la no subaditividad del VaR

Question

He estado leyendo sobre el VaR y me confunde mucho el concepto de subaditividad.

En la wikipedia, dice "El VaR no es subaditivo: El VaR de una cartera combinada puede ser mayor que la suma de los VaR de sus componentes."

Sin embargo, mientras leo el libro de John Hull Opciones, futuros y otros derivados En la página web de la empresa, hay el siguiente ejemplo que habla del beneficio de la diversificación con el VaR:

El VaR del 99% a 10 días para la cartera de acciones de Microsoft es de 1.473.621 dólares.

El VaR del 99% a 10 días para la cartera de acciones de AT&T es de 368.405 dólares.

El VaR del 99% a 10 días para la cartera de acciones de Microsoft y AT&T es de 1.622.657 dólares.

El importe (1.473.621+368.405) - 1.622.657 = 219.369 dólares

Entonces mi confusión es que, en este caso, ¿el VaR de la cartera no es menor que la suma del VaR individual? Parece que aquí es subaditivo. Entonces, ¿de dónde viene el conflicto? Gracias de antemano.

Answer 1

Ejemplo sencillo en el que falla la subaditividad

Que haya cuatro resultados posibles $i=1,2,3,4$ que ocurren con igual probabilidad $\frac{1}{4}$ . Pagos por $X$ , $Y$ y $X + Y$ están dadas por:

$$ X = \begin{bmatrix}-1\\0\\1\\2 \end{bmatrix} \quad Y = \begin{bmatrix}0\\-1\\1\\2 \end{bmatrix} \quad X + Y = \begin{bmatrix}-1\\-1\\2\\4 \end{bmatrix}$$

¿Cuál es el 75%? valor en riesgo (VAR) ¿para cada uno?

• $\operatorname{VAR}(X, .75) = 0$
• $\operatorname{VAR}(Y, .75) = 0$
• $\operatorname{VAR}(X+Y, .75) = 1$

Hacerlo explícito:

El valor en riesgo (VAR) puede ser definido matemáticamente como :

$$\operatorname{VAR}\left(X, \alpha \right) = -\sup_x \left\{ x \in \mathbb{R} : P(X < x ) \leq 1 -\alpha \right\}$$

• El conjunto de $x \in \mathbb{R}$ donde $P(X<x) \leq .25$ es el conjunto abierto $(-\infty, 0)$ .
• El menor límite superior de este conjunto es 0, por lo que el supremum es 0, y el 75% VAR de $X$ es 0.
• El conjunto de $x \in \mathbb{R}$ donde $P(X + Y < x) \leq .25$ es el conjunto abierto $(-\infty, -1)$ .
• El menor límite superior de este conjunto es -1, por lo que el supremum es -1, y el 75% VAR de $X+Y$ es 1.

Answer 2

El VaR no es subaditivo en general .

Basándose en el comentario de Mark Joshi, hay casos particulares en los que puede ser. Estos casos se dan en carteras que contienen factores de riesgo con distribución elíptica. Por supuesto, la distribución normal se encuentra entre la familia de las distribuciones elípticas.

Esto último puede ser útil para la modelización analítica del VaR, ya que un modelo elíptico suele ser una aproximación razonable para instrumentos como los rendimientos de la renta variable o las divisas. Entonces se puede aplicar la propiedad subaditiva.