El punto es el siguiente:
Delta, $\Delta$, se define como $\frac{\partial C}{\partial S}$, donde $C$ es el valor de la opción call, y $S$ es el precio del activo subyacente.
Por tanto, y dado que el valor de una opción call para una empresa que no paga dividendos de las acciones subyacentes en términos de Black–Scholes parámetros es
$$C = N(d_{1})S - N(d_{2})Ke^{rT},$$
$$\Delta = \frac{\partial C}{\partial S} = N(d_{1}).$$
Básicamente, Delta es la primera derivada parcial de $C$, con respecto a $S$.
Cómo derivar $\Delta$
- $N(x)$ es la probabilidad acumulada de que una variable con una distribución normal estandarizada será menor que x;
- $N'(x)$ es la función de densidad de probabilidad para un estándar de la distribución normal:
$$N'(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{x^2}{2}}.$$
Entonces, la definición de $\tau = T - t$, tenemos
$$ d_{1} = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}$$
y
$$ d_{2} = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r - \frac{\sigma^2}{2})\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}$$
De ello se sigue que
$$ N'(d_{1}) = N'(d_{2} + \sigma\sqrt{\tau}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(d_{2} + \sigma\sqrt{\tau})^2}{2}} = N'(d_{2})e^{-d_{2}\sigma\sqrt{\tau} - \frac{\sigma^2\tau}{2}} = N'(d_{2})\frac{Ke^{-i\tau}}{S}$$
Por lo tanto,
$$N'(d_{1})S = N'(d_{2})Ke^{-i\tau}.$$
Entonces
$$ \frac{\partial d_{1}}{\partial S} = \frac{\partial d_{2}}{\partial S} = \frac{1}{S\sigma\sqrt{\tau}}$$
Puesto que hay una $S$ en $N(d_{1})$ y $N(d_{2})$, usamos la cadena-regla:
$$ \frac{\partial C}{\partial S} = N(d_{1}) + \frac{\partial d_{1}}{\partial S} N'(d_{1})S - \frac{\partial d_{2}}{\partial S} N'(d_{2})Ke^{-i\tau} = N(d_{1}) + \frac{\partial d_{1}}{\parcial S} N'(d_{1})S - \frac{\partial d_{2}}{\partial S} N'(d_{1})S = N(d_{1}) + \frac{1}{S\sigma\sqrt{\tau}} N'(d_{1})S - \frac{1}{S\sigma\sqrt{\tau}} N'(d_{1})S = N(d_{1}).$$
