¿Cuál es la distribución de probabilidad de los cambios en $\Delta$?

Question

¿Cuáles son las probabilidades de que un 10 delta de la opción de convertirse en un 30 delta de la opción en "N" número de días?

Es que el cálculo sea posible?

Por ejemplo, quiero saber la probabilidad con la que mis 56 días, 10 delta de la opción de convertirse en un 30 delta de la opción en cualquier momento durante los próximos 16 días.

Answer 1

Supongo que se refiere a la probabilidad de convertirse en como mínimo $\Delta = 30$ de lo contrario, la probabilidad es cero. Es difícil dar una respuesta completa, ya que falta bastante información. Como estás buscando la probabilidad, el resultado depende definitivamente del modelo de subyacente que estés utilizando. Además, incluso si se utiliza el modelo BS, algunos valores de los parámetros son importantes. Por ejemplo, es natural concluir que para valores muy altos de $\sigma$ dicha probabilidad es relativamente alta, mientras que para $\sigma \ll 1$ Yo esperaría que esta probabilidad fuera casi nula.

No obstante, permítanme explicarles cómo enfocaría yo el problema en el marco de BS. Tenemos $$ \Delta = N(d), \quad d = \frac{\log(S/K) + (r+\frac12\sigma^2)t}{\sigma \sqrt t} $$ y por lo tanto podemos reformular el problema en términos de $d$ el valor actual es $d_0 = -1.28$ y nos gustaría alcanzar el nivel de $d^* = -0.525$ . Así, se puede formular el problema de la siguiente manera: se desea $S_t$ para alcanzar el valor de $$ S_t \geq K\cdot\exp\left(d^*\sigma\sqrt t - (r+\frac12\sigma^2)t\right) \tag{1} $$ al menos una vez en el intervalo $[0,T]$ . Para hallar la probabilidad de $(1)$ necesita resolver el primer problema de tiempo de impacto:sabe que $$ S_t = S_0\cdot\exp\left((r-\frac12\sigma^2)t+\sigma W_t\right), $$ así que al final obtienes $$ W_t\geq d^*\sqrt t + \frac1\sigma\left(\log\frac K{S_0}-rt\right). $$ En caso de $r = 0$ este problema es un primer tiempo de golpe de una curva de root cuadrada por un movimiento browniano, que es muy probable que haya sido estudiado antes, por lo que hay una posibilidad de obtener una solución analítica en ese caso.