¿Qué tiene de malo este método de valoración europea de opciones?

Question

Carr-Madan demostró que existe una relación sencilla entre los precios de llamada y la función característica del modelo subyacente.

Véanse las ecuaciones 5 y 6 de su documento original http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.348.4044&rep=rep1&type=pdf .

Para muchos modelos, disponemos de funciones características. (Modelos de Levy, modelos de Heston y muchos otros modelos estoc-vol).

Por lo tanto, la integral anterior puede evaluarse fácilmente en muy poco tiempo utilizando la cuadratura de Gauss o la regla trapezoidal.

Así que la pregunta que me hago es... ¿por qué se sigue insistiendo en la valoración numérica de las opciones europeas en la literatura?

¿No se ha resuelto el problema?

O para reformular mi pregunta: ¿cuándo "no funciona" el planteamiento anterior? ¿O no funciona "lo bastante rápido"/"lo bastante preciso"?

Quiero decir, puedes ir a arxiv.org y encontrar toneladas de métodos bizarros y enrevesados para poner precio a los europeos y yo me quedo aquí parado pensando "uhh ... vale ... ¿pero por qué no usar simplemente la fórmula de Carr-Madan??".

Answer 1

En primer lugar, no hay nada malo en el enfoque de la transformada rápida de Fourier de Carr y Madan (1999). Sin embargo, hay toda una serie de razones por las que se investiga sobre otros enfoques numéricos.

• Puede tener un modelo en el que no conozca la función característica (por ejemplo, la volatilidad local). Entonces, el método de Carr Madan no se aplica en absoluto y tienes que tener alternativas rápidas para calcular precios y griegas.
• Es posible que desee fijar el precio de opciones dependientes de la trayectoria en las que Carr Madan tampoco se aplica y utiliza opciones de tipo europeo como ejemplo.
• Es posible que pueda encontrar un método aún mejor que sea simplemente más rápido que Carr Madan. Crisóstomo (2018) argumenta que Carr Madan no es el método más rápido posible y destaca la importancia de la vectorización del precio de ejercicio. Del mismo modo, el enfoque COS es celebrado por su velocidad.
• Se trata de encontrar un factor de amortiguación adecuado (óptimo). $\alpha$ lo que requiere cierta optimización al principio. Hay un artículo de Lord y Kahl (2007) en el que se analiza cómo encontrar un óptimo $\alpha$ . Además, el método de Carr Madan tiene dificultades con las opciones muy OTM.

Dicho esto, Carr Madan es un método sencillo, popular y potente para fijar el precio de las opciones de tipo europeo, en particular para los modelos de Levy y los modelos de volatilidad estocástica. Algunas extensiones bien conocidas son el enfoque OTM presentado en el mismo documento (Carr y Madan (1999)) y el uso (por ejemplo) del precio de la opción Black-Scholes como variante de control. Pero eso no significa que no se pueda intentar mejorarlo. Por último, a veces la investigación consiste incluso en probar cosas que no funcionan y confirmar que los algoritmos/enfoques ya conocidos son realmente óptimos. Pero esos resultados sólo se obtienen si uno es curioso y prueba cosas nuevas.

Answer 2

El problema no está resuelto. Los supuestos necesarios para que funcione el cálculo Ito son muy fuertes y la normal y la log-normal se eligieron porque tenían soluciones conocidas, no porque alguien pensara que eran ciertas.

Uno de los supuestos del cálculo es que los parámetros son conocidos. Así, si tuvieras la ecuación autorregresiva $x_{t+1}=\beta{x}_t+\epsilon_{t+1}$ y los parámetros son conocidos, entonces es un poco doloroso debido al nivel de habilidad requerido, pero sigue siendo un problema tratable.

Si $\beta$ no se conoce y $\beta>1$ entonces hay una prueba de que no existe ninguna solución significativa al problema que también permanezca dentro de los axiomas utilizados. Existe un conflicto entre las matemáticas y la economía. Por supuesto, si $\beta\le{1}$ entonces nadie invertiría.

He propuesto un nuevo cálculo para resolver este problema. Encontrará un enlace en https://www.datasciencecentral.com/profiles/blogs/a-generalized-stochastic-calculus .

He abandonado la suposición de que los parámetros son conocidos. Resuelve un problema de teoría de la decisión que siempre ha estado presente porque requiero que la solución sea un estadístico suficiente que domine estocásticamente de primer orden las soluciones alternativas y minimice la pérdida de una muestra desafortunada. El problema es que si se exige que $\theta$ se conoce y no se puede conocer, entonces no se puede tomar una buena decisión sobre un precio.

Por otra parte, si $\hat{\theta}$ es una estadística suficiente para la decisión, entonces el conocimiento de $\theta$ es irrelevante. Se elimina del problema. Lamentablemente, parece que no puedo conseguir que se publique, por lo que no puedo conseguir que se publique el modelo de fijación de precios de las opciones.

También puedes ver este vídeo para ver parte del problema https://youtu.be/R3fcVUBgIZw .

Lo siento, la matemática completa es demasiado larga para publicarla aquí.