El GBM está definido por
$
dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t) dW_t,
$
con la solución analítica
$
S(t^\prime) = S(t) exp\left[\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)\left(t^\prime-t\right)+\sigma\left(W(t^\prime)-W(t)\right)\right].
$
¿Cuál es la expresión analítica de la covarianza,
$
Cov[S(t),S(t^\prime)]
$
?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
W. l.o.g utilizamos la condición inicial $S(0)=1$ y definir $\gamma:=\mu-\frac{\sigma^2}{2}$. Por lo tanto, tenemos la dinámica
$$S_t=e^{\gamma t +\sigma W_t}$$
Por definición, $Cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y))=E(XY)-E(X)E(Y)$, donde la última igualdad se sigue de la linealidad de la expectativa. Nota $\gamma t+\sigma W_t$ es normal distribuido con una media de $\gamma t$ y variación $\sigma^2t$. Por lo tanto $S_t$ es logarítmico-normal con una media de $\phi_t:=E[S_t]=e^{\gamma t+\frac{\sigma^2}{2}}$. Por $t>r$ este rendimientos,
$$Cov(S_t,S_r) =E((S_t-\phi_t)(S_r-\phi_r))=E(S_rS_t)-\phi_r\phi_t$$
El último paso es calcular $E(S_tS_r)$.
$$E(S_rS_t)=e^{\gamma(t+r)}E(e^{\sigma(W_t+W_r)})=e^{\gamma(t+r)}E(e^{\sigma(W_t-W_r)}e^{2\sigma(W_r)})=e^{\gamma(t+r)}E(e^{\sigma(W_t-W_r})E(e^{2\sigma W_r})$$
donde hemos utilizado que $W_t-W_r$ y $W_r$ son independientes. De nuevo, usando la fórmula para la media de una distribución lognormal tenemos $$E(e^{\sigma(W_t-W_r)})=e^{\frac{\sigma^2(t-r)}{2}}$$ y $$E(e^{2\sigma W_r})=e^{2\sigma^2 r}$$
Por lo tanto
$$Cov(S_t,S_r)=e^{\gamma(t+r)}e^{\frac{\sigma^2(t-r)}{2}}e^{2\sigma^2 r}-e^{\gamma t+\frac{\sigma^2}{2}}e^{\gamma r+\frac{\sigma^2r}{2}}$$
Yo se lo dejo a usted para comprobar si esto puede ser aún más simplificado.
