¿Por qué las opciones de compra ATM tienen un delta ligeramente superior a 0,5 y no 0,5 exactamente?

Question

A partir de la fórmula de la delta de una opción de compra, es decir $N(d1)$ , donde $d_1 = \frac{\mathrm{ln}\frac{S(t)}{K} + (r + 0.5\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$ La delta de una opción de compra al contado ATM es ligeramente superior a 0,5. Sin embargo, esto es poco intuitivo para mí... ¿alguien puede explicar por qué?

Además, ¿hay alguna forma de interpretar lo que hace $d_1$ y $d_2$ representan donde $d_1$ se muestra arriba y $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t}$

Answer 1

La razón por la que lo encuentras contra intuitivo es porque piensas en ello como la probabilidad de terminar en el dinero al vencimiento, lo cual no es exactamente correcto. Incluso con un tipo de interés de $0\%$ donde la acción no tiene tendencia a subir o bajar se ve que delta es ligeramente superior a $0.5$ para las llamadas ( $\Delta = \sigma * \sqrt T$ ) y esta es la razón:

Piensa en la delta como el número de acciones a cubrir. Incluso cuando $r=0\%$ porque las acciones se mueven con un movimiento geométrico browniano, los precios de las acciones más altos tienen movimientos más grandes, por lo que para cubrirse contra una opción de compra se necesitan más acciones que para cubrirse contra una opción de venta.

Alternativamente, para la delta dual, que es la probabilidad de terminar en el dinero, se ve que para las opciones at the money donde $r=0\%$ el delta dual es $0.5$

Answer 2

En la fijación de precios sin arbitraje, la rentabilidad logarítmica del precio de las acciones no tiene rentabilidad esperada $0$ pero $r$ el tipo libre de riesgo. Esto está muy relacionado con la fijación de precios de contratos a plazo . Allí se podría seguir los pasos para ver que en el mundo libre de arbitraje el precio al contado crece con la tasa libre de riesgo en expectativa.

Por lo tanto, si se pone precio a una opción, la probabilidad (en la medida de la martingala) de que el rendimiento logarítmico sea positivo es mayor que $1/2$ si hay tipos de interés positivos. Si se calcula con una rentabilidad por dividendos, esta rentabilidad se resta del tipo sin riesgo.

Todo lo que he dicho es válido para el retorno del tronco. Si tomas el exponencial: $$ S_0 \exp( X_t ) = S_0 (1 + X_t + \frac12 X_t^2 + \cdots) $$ donde $X_t$ es el proceso de retorno del registro, y tomar la expectativa entonces se obtienen los términos $E[X_t] = r t$ para $E[X_t^2]/2 = t \sigma^2/2$ considerando los plazos hasta $2nd$ orden.

En el modelo de Bachelier, en el que el precio de las acciones se modela como un movimiento browniano aritmético, no se tiene esto $\sigma^2$ plazo.