Frecuencia de cobertura Delta, Gamma PnL

Question

Quiero saber la expectativa y la varianza de la Gamma PnL para diferentes frecuencias de cobertura.

Digamos que el rendimiento del subyacente sigue un proceso normal: $dr= \sigma*dW$ El mercado opera las 24 horas del día y no hay costes de transacción. Considero que tengo un dólar constante $\Gamma$ posición (-r% o +r%, r $\in$ $\mathbb{R}$ ), proporcionan el mismo $\Gamma$ ) con una franja de opciones. También asumo, que no hay cambio en el vol implícito durante el día, por lo tanto la vega PnL es cero.

La volatilidad diaria es $s = \frac{\sigma}{\sqrt{365}}$ por lo tanto $dr \sim \mathcal{N}(0,s^2)$ .

¿Cuál es la Gamma PnL si cubrimos cada segundos, horas... cada periodo de tiempo $t$ ?

Si cubrimos cada vez $t$ (para simplificar normalizo $t$ a un día, por ejemplo cada hora sería $t$ = 1/24), utilizando las propiedades de los movimientos brownianos, puedo considerar que tengo $1/t$ procesos de retorno independientes $dr_{t} \sim \mathcal{N}(0, s^2*t)$ El proceso Gamma PnL es entonces para un día:

$PnL_{\Gamma}= \frac{1}{t}*\Gamma*\frac{dr_{t}^2}{2}$

y luego sigue $PnL_{\Gamma}\sim \chi^2_{1}$ con la media $E =\Gamma*s^2*t/t = \Gamma*s^2$ y la varianza $V = \Gamma^2*s^4*t^2/t^2 = \Gamma^2*s^4$

Lo que no entiendo es que no haya dependencia de la Gamma PnL a la frecuencia de cobertura. A medida que aumentamos la frecuencia de cobertura deberíamos tener menos varianza y menos rendimiento en la gamma y lo recíproco debería ser cierto? ¿Dónde fallan mis matemáticas? No lo veo.

Answer 1

Desde una perspectiva quant (estoy seguro de que habrá más quants que intervengan), la cobertura delta es una representación física de una integral estocástica, que es inherentemente independiente del tamaño del paso (tanto en la dimensión del tiempo como del precio). Lo único que se puede decir es que cuanto más se acerque a la cobertura continua, menor será el error de cobertura.

Desde la perspectiva de los operadores, la frecuencia de reequilibrio entrará en juego si se abandona el mundo perfecto de la BS. Por ejemplo, en la vida real, normalmente se intenta optimizar la cobertura para lograr un equilibrio entre (a) la suavidad de las pérdidas y ganancias, (b) los costes de transacción, (c) la amortiguación o amplificación de la volatilidad (d) la reversión media del activo con el que se negocia y (e) los límites de riesgo.

Answer 2

El problema de lo que hago arriba es que cambio la unidad de tiempo, en lugar de mantener la misma unidad de tiempo y comparar las diferentes frecuencias.

Si queremos comparar los rendimientos a lo largo de diferentes frecuencias de cobertura, la forma más sencilla es utilizar el rendimiento logarítmico a lo largo de diferentes frecuencias:

$dr_{t}=-\frac{s^2*t}{2} + s*\sqrt{t}*\epsilonN(-\frac{s^2t}{2},s^2t)$

Si haces el resto de los cálculos obtendrás el efecto de la Gamma PnL esperada y su varianza.