La igualdad bajo la T-forward para medir la convexidad de ajuste

Question

He estado trabajando con la convexidad de ajuste de las tasas de interés que surge al cambiar de una medida $Q_{T_p}$ con un numéraire $N_p=P(t,T_p)$ medida $Q_{T_e}$ con un numéraire $N_e=P(t,T_e)$ donde $T_p$ es el tiempo de pago y $T_e$ es el momento donde el interés de la velocidad de avance de los extremos.

Así que tengo la velocidad de avance:

\begin{align*} L(t, T_s, T_e) = \frac{1}{\Delta_s^e}\bigg(\frac{P(t, T_s)}{P(t, T_e)}-1 \bigg), \end{align*}

Y el expecation de pago con el cambio de la medida:

\begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big) \\ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{\eta_{T_p}}{\eta_{t_0}}L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{P(t_0, T_e)}{P(t_0, T_p)P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\frac{1}{P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_p, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big) \end{align*}

Ahora, yo creo, esta última ecuación es complicado ya que tengo dos adelante los índices observados en tiempos $T_p$ y $T_s$ quisiera confirmar mi pensamiento de que ya no estamos bajo la $Q_{T_e}$ de la medida y de tanto $L(T_p, T_p, T_e)$ y $L(T_s, T_p, T_e)$ son martingales debajo de ella, puedo usar esta igualdad:

\begin{align*} P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_p, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)= P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_s, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\etiqueta{1} \end{align*}

¿Esta igualdad tiene porque razón? Ahora, a partir de allí he visto dos posibles soluciones:

1. Asumir un modelo (por ejemplo, log-normal) para $L(t, T_p, T_e)$ y $L(t, T_p, T_e)$ desde ahora estaremos trabajando tanto con los valores observados en $T_s$ cuando yo uso el lema de Ito para calcular el producto y, a continuación, integrar lo voy a hacer desde $t_0$ a $T_s$ y con esa solución puede resolver la expectativa.

2. Utilizar el modelo lineal propuesto aquí en la página 19,Sección 4.2. donde esencialmente se hacen los cálculos con respecto a los $(1+ \Delta_s^e L(T_s, T_s, T_e)$ pero con un valor específico a la $\Delta_s^e$ que se multiplica en fin de cuenta para el pago en $T_p$ en vez de en $T_e$.

Estoy trabajando en el precio de una opción, en concreto una opción digital (que creo que debería ser casi de la misma). Tiene a nadie aquí utilizado alguno de los resultados de esto de tener una preferencia sobre una de estas opciones?

Mucho ayuda apreciada

Answer 1

El enfoque habitual es similar a la de su 2. y es conocido como replicación de precios para antinatural fecha de pago de la tasa Libor, también llamado a veces retrasa la tasa libor. Usted puede encontrar en cualquier libro sobre la tasa de interés fijación de precios de derivados, por ejemplo, Andersen & Piterbarg Tasa de Interés de Modelado.

También en el enfoque estándar para opciones digitales es el precio por la diferenciación de la convocatoria ordinaria o poner con respecto a la huelga, a fin de ser coherente con la volatilidad de la sonrisa.

Así que en su caso particular, el precio de una opción digital que paga $\text{Indicador}(L(T_s, T_s, T_e) > K)$ en $T_p$, primero aplicar la replicación opciones de precio con pago $(L(T_s, T_s, T_e) - K)^+$ que pagan en $T_p$ y, a continuación, se diferencian (numéricamente) con respecto a $K$.