Estoy tratando de implementar un LSMC para valorar una opción real de tipo americano con un valor de proyecto subyacente que está expuesto a varios factores de riesgo.
En el trabajo de Longstaff y Schwartz, utilizan los tres primeros polinomios de Laguerre para ejecutar sus regresiones. Desgraciadamente, no proporcionan ninguna explicación sobre qué son estas funciones y cómo se utilizan.
Mi pregunta es, ¿podemos utilizar siempre estas mismas funciones independientemente de la dinámica de la configuración subyacente/modelo? ¿Cómo elegimos estas funciones de base y qué significan realmente?
Obviamente soy nuevo en esto, así que además de la parte técnica, agradecería mucho alguna explicación intuitiva.
Gracias por su apoyo.
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Tradicionalmente, el LS se implementa utilizando polinomios de Laguerre ponderados. Esto se debe a que este conjunto de funciones forma un sistema ortogonal completo del $L^2(0,\infty)$ espacio (ver math.stackexchange.com/questions/100461/ ). Intuitivamente, esto significa que cualquier función $f : \Omega \to \Bbb{R}$ cuyo cuadrado es integrable sobre $\Omega=[0,\infty[$ puede expresarse como una combinación lineal de polinomios de laguerre ponderados, que es precisamente su objetivo en LS (estimar el valor de continuación como un combo de funciones elementales).
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Véase también este documento que parece centrarse en algunas de las cuestiones que usted plantea en relación con la elección de las funciones de base para la fijación de precios de las opciones reales ( fep.up.pt/conferencias/pfn2006/Conference%20Papers/540.pdf )
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No veo cómo esto es relevante. La idea es decir que si puedes acercarte a la función de regresión utilizando un subconjunto de funciones (independientemente del espacio finito o del espacio infinito), entonces el algoritmo convergerá. Ahora bien, la cuestión de a qué espacio de funciones pertenece el verdadero valor de continuación en comparación con el conjunto de funciones que realmente puedes generar a partir de tus funciones base + regresores puede ser un tema de investigación en sí mismo. En realidad, se trata más de una discusión técnica que pragmática: ¡podrías sustituir este paso por algún ML avanzado si te apetece!
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@Quantuple, del paper de LS, no me queda claro que todos los payoffs que consideran (americanos, asiáticos, bermudeños) pertenezcan a $\mathcal L^2$ . Rápidamente nos remiten a algunas referencias que no cubren todos sus casos. Además, nunca muestran cómo los precios de las acciones que utilizan como regresores forman un subespacio cerrado del espacio de resultados (que es la condición necesaria para la proyección ortogonal). Creo que LS sólo debería demostrarse en espacios finitos, no en espacios de dimensiones infinitas.