Distribución del tiempo de paso del puente browniano

Question

Digamos que tenemos un puente browniano $Y_{b,T}(t)$ tal que $Y_{b,T}(0)=0$ , $Y_{b,T}(T)=b$ .

Digamos que estamos interesados en el primer tiempo de paso de $Y_{b,T}(t)$ en el nivel $b$ : $\tau_b = \{\min \tau; Y_{b,T}(\tau)=b\}$ .

¿Cómo podría calcular la distribución de $\tau_b$ ?

Answer 1

¿Qué le parece este esbozo de respuesta? Pongamos $T=1$ en su fórmula para simplificar la notación. Entonces $Y_b(t)$ es un puente browniano donde $Y_b(0)=0$ y $Y_b(1)=b$ .

Esto se puede escribir como $Y_b(t) = b\ t + Y_0(t)$ , es decir, el puente browniano estándar (de cero a cero) con una deriva añadida $b\ t$ .

El puente browniano estándar puede escribirse en términos de un proceso de Wiener modificado en el tiempo $W$ , a saber $$ Y_0(t) = (1-t)\ W\left(\frac{t}{1-t}\right)$$

El tiempo de golpeo $\tau$ que le interesa puede expresarse como $$\tau_{Y_b}(b) = \inf \{t : Y_b(t) = b\} = \inf\{t : b\ t + (1-t)\ W\left(\frac{t}{1-t}\right) = b \} = \inf\{t : W\left(\frac{t}{1-t}\right) = b \} $$

Por lo tanto, el tiempo de golpeo del puente browniano es el tiempo de golpeo de un proceso Wiener con cambio de tiempo. Es decir, si $$\tau_W(b) = \inf\{s : W(s) = b \}$$ entonces $$\frac{\tau_{Y_b}(b)}{1-\tau_{Y_b}(b)} = \tau_W(b) \Rightarrow \tau_{Y_b}(b) = \frac{\tau_W(b)}{1+\tau_W(b)} $$

Para un proceso Wiener estándar, el tiempo de golpeo $\tau_W(b)$ sigue una distribución de Levy con densidad $$ f_W(\tau; b) = \frac{b}{\sqrt{2\pi\tau^3}} \exp \left\{- \frac{b^2}{2\tau} \right\}$$ por lo que la densidad del tiempo de golpeo del puente browniano será $$ f_{Y_b}(\tau; b) = \frac{b}{\sqrt{2\pi\tau^3(1-\tau)}} \exp \left\{- \frac{b^2(1-\tau)}{2\tau} \right\} $$

Espero que esto sea correcto.

Edición: La densidad (si es correcta) para $b=\{0.25, 0.5, 1, 2\}$ se ve bastante funky en realidad ¡!

Answer 2

Puede ser exagerado, pero puede encontrar la siguiente tesis doctoral de Peter Hieber de alguna utilidad.