¿Cómo se calcula la variación compensatoria por cambio múltiple de precios?

Question

Para un único cambio de precio variable,

$$CV = - \int_{p_x^o}^{p_x^f} x_H(\rho,p_y,v^o)d\rho$$

$x_H$ es la función de demanda hicksiana del bien $x$ . ¿Qué ocurre si cambian ambos precios? ¿Cómo se calcula? ¿Y para un $n$ vector de precios dimensional en el que todos los precios cambian?

Pon un ejemplo utilizando integrales dobles.

Answer 1

Creo que una buena forma de hacerlo es introducir la Función de gastos que resuelve tu problema de forma asombrosa.

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En Función de gastos da el dinero que hay que gastar para alcanzar un determinado nivel de utilidad, dada una función de utilidad $u$ y el vector de precios $p$ .

$e(p,u^*)=min_{x \in \mathbb{R}_+^n,u(x) \geq u^*}p \cdot x$

Entonces puedes expresar tu variación compensatoria de dos formas equivalentes:

$CV=e(p_1,u_1)-e(p_1,u_0)=e(p_0,u_0)-e(p_1,u_0)$ donde $p_0$ y $p_1$ son los precios antiguo y nuevo y $u_0$ y $u_1$ son la antigua y la nueva utilidad. Se puede observar que se puede traducir como: si dado $CV$ en compensación por el cambio, entonces el consumidor sería indiferente a ese cambio.