¿Aplicación del resultado de la medida Martingale para los tipos de interés bajo la medida T-forward?

Question

Tengo una pregunta sobre la forma en que se utiliza el resultado de la medida de martingala equivalente para la fijación de precios de los derivados. Hull establece el resultado como la siguiente igualdad:

\begin {align*} f_o = g_0 E^{g} \big ( \frac {f_T}{g_T} \mid \mathcal {F}_{t_0} \big ) \end {align*}

Dado que $f_T$ tiene algunas dinámicas que dependen de $g_T$ la volatilidad de la dinámica.

Así que lo que entiendo es que mientras $f_T$ tiene la dinámica correcta puedo dividir por $g_T$ y obtener el precio de cualquier derivado.

Como ejemplo, para una llamada con pago $max(S_T-K,0)$ Puedo elegir $g_0$ como la cuenta del mercado monetario con $g_0 = 1$ y $g_T = e^{rT}$ (suponiendo una r constante). Luego, para fijar el precio de la opción, utilizaría el resultado así:

\begin {align*} f_o = E^{r} \big ( \frac {max(S_T-K,0)}{e^{rT}} \mid \mathcal {F}_{t_0} \big ) \end {align*}

Si se resuelve esto con la dinámica correcta ( $\mu=r$ para $S_T$ ) nos llevaría a la fórmula de Black y Scholes.

Ahora, en el caso de los tipos de interés sé que bajo una $T^*$ -medir con el numerario como $P(t,T^*)$ y $T<T^*$ el tipo de interés a plazo $R(T,T,T^*)$ como se ve en el tiempo $T$ es una martingala, es decir:

\begin {align*} R(t_0,T,T^*) = E^{T^*} \big (R(T,T,T^*) \mid \mathcal {F}_{t_0} \big ) \end {align*}

Sin embargo, si quisiera aplicar la misma lógica que utilicé en el ejemplo anterior para valorar un derivado que paga el tipo de interés T-forward en el tiempo $T^*$ Yo seguiría y haría esto:

\begin {align*} f_o = P(0,T^*)E^{T^*} \big ( \frac {R(T,T,T^*)}{P(T,T^*)} \mid \mathcal {F}_{t_0} \big ) \end {align*}

Pero entiendo el término $P(T,T^*)$ lo que no me parece correcto porque creo que la valoración correcta es:

\begin {align*} f_o = P(0,T^*)E^{T^*} \big (R(T,T,T^*) \mid \mathcal {F}_{t_0} \big )=P(0,T^*)R(t_0,T,T^*) \end {align*}

¿Debería usar $g_T=P(T^*,T^*)=1$ ? Eso no me parece correcto ya que es $g_T$ no $g_T^*$

He visto aquí ( ¿Cuál es el ajuste de convexidad correcto para un swap de tipos de interés con un reajuste no natural? ) y parece que $P(T_p, T_p)$ se está utilizando aunque la tasa se observa en $T_s$

¿Qué me falta?

Se agradece la ayuda

Answer 1

No confundir la fecha de fijación $T$ y la fecha de pago $T^*$ . En su ejemplo está valorando un cupón flotante que se fija en $T$ y paga $R(T, T, T^*)$ en $T^*$ y está utilizando el $T^*$ bono de cupón cero como numerario, por lo que el PV se calcula como $$ p_0 = P(0, T^*)E^{T^*}\left[\frac{R(T, T, T^*)}{P(T^*,T^*)} \right] = P(0, T^*)E^{T^*}\left[R(T, T, T^*)\right]=P(0, T^*) R(0, T, T^*) $$ El tipo flotante $R(T, T, T^*)$ se fija en $T$ pero se paga en $T^*$ por lo que el denominador de la expectativa es $P(T^*,T^*)$ . Si el tipo de interés variable era fijo y se pagaba en $T$ (como sería el caso de una fijación en mora) entonces el denominador sería $P(T,T^*)$ y eso llevaría a un ajuste de convexidad.