¿Cómo seleccionar la suposición inicial para la volatilidad implícita?

Question

Cuando calculamos la volatilidad implícita, necesitaríamos dar al solver un rango para comenzar. Por ejemplo, QuantLib usa [0, 4.0] para el rango, lo que es otra forma de decir que se prueben todos los valores posibles.

¿Existe alguna teoría sobre la mejor suposición? ¿Podemos derivar la mejor suposición teórica? Cuanto más pequeño sea el rango que podamos dar al solver de raíces, más rápido obtendremos nuestros resultados (se requieren menos iteraciones).

Por ejemplo, si la volatilidad implícita es 0.07 (no lo sabemos de antemano). ¿Podemos dar un rango como [0.01, 0.10]? lo que haría que el solver converja más rápido que si damos un rango como [0, 4.0].

Answer 1

Siempre es mejor usar alguna aproximación en forma cerrada primero para obtener una suposición inicial. Corrado y Miller (1996) produjeron una solución que es bastante precisa en un rango de monetización (aunque solo se puede aplicar al modelo BS y no se puede utilizar para opciones vanilla simples o opciones exóticas). La fórmula para la volatilidad implícita $\sigma$ es:

$\sigma = \frac{1}{\sqrt{t}} \left[ \frac{\sqrt{2\pi}}{S+Xe^{-rt}}+ \left\{C - \frac{S-Xe^{-rt}}{2} + \sqrt{\bigg(C- \frac{S-Xe^{-rt}}{2} \bigg)^2 - \frac{(S-Xe^{-rt})^2}{\pi}} \, \, \right\} \right] $

donde, $C$ es el precio de mercado actual, $X$ es el precio de ejercicio, y $t$ es el tiempo hasta el vencimiento.

Answer 2

¿Realmente necesitas hacer esto tú mismo?

El estado absoluto de la técnica es el trabajo de Peter Jaeckel, donde hace que una función de volatilidad implícita sea tan buena como las funciones especiales exp, cos y logaritmo. Y publicó el código fuente y los detalles del algoritmo con un cuidadoso análisis numérico de errores y convergencia. Este es un invento que no necesitas reinventar, al igual que no necesitas escribir tu propia función coseno.

http://www.pjaeckel.webspace.virginmedia.com/LetsBeRational.pdf

Answer 3

1. Cuando estás utilizando un método de convergencia no tan fácilmente convergente:

Usando el caso más simple de una opción ATMF, podemos asumir que S = X * exp(-rT)

Esto da una solución en forma cerrada para la volatilidad implícita de la siguiente manera, la cual puede ser utilizada de manera segura como tu estimador inicial

Volatilidad Implícita = (C/S) * sqrt(2*pi / T)

C = Precio de mercado de la opción de compra

S = Precio del activo subyacente

Referencia: Esto fue presentado por Brenner y Subrahmanyam (1988) en uno de los papers.

2. Cuando estás utilizando un método de convergencia mejor, como el de Newton o similar

Calcula tu volatidad histórica, y luego el precio de la opción. Luego, utilizando interpolación lineal, escala hacia arriba o hacia abajo tu volatilidad histórica con respecto a la proporción/diferencia entre el precio de tu opción (BS) y el precio de mercado

Volatilidad Implícita = histVol * (C / Cbs) * (Constante opcional por intuición, por defecto = 1.0)

C = Precio de mercado

Cbs = precio black scholes de la opción

Diría que es una estimación bastante aproximada y no estará muy cerca del valor real. Pero dado que estás utilizando el enfoque de Newton Ralphson que es bastante bueno en la convergencia, diría que esta podría ser una opción bastante inteligente para una suposición inicial. Por favor, siéntete libre de usar tu propio valor para la 'constante opcional' aquí.

Referencia: Mis pensamientos.

Answer 4

"Lo cual es otra forma de decir que pruebes todos los valores posibles" - esto no es del todo correcto, ni en sentido general ni en la implementación de QuantLib. QuantLib utiliza el método de Brent (supongo que por robustez) que requiere un rango como entrada, pero definitivamente no calcula los valores de las opciones para todas las entradas en el rango.

Pero al igual que HyperVol explicó - que realmente hay dos pasos - 1 elegir un buen punto de partida, 2 - ejecutar unas pocas iteraciones del solucionador de tu elección hasta la convergencia.

Para calcular el valor inicial (o rango), recomendaría esta fórmula simple Un Estimador Mejorado para la Volatilidad Implícita de Black-Scholes-Merton, o más complicado (pero más preciso) Por Implicación, o si estás trabajando con ABM Aproximación numérica de la volatilidad implícita bajo el movimiento Browniano aritmético

Por Implicación la aproximación es mucho mejor que la fórmula de Corrado-Miller