Aplicar el lema de Ito a la martingala exponencial

Question

$\newcommand{\dd}{\, \mathrm{d}}$ Consideremos la martingala exponencial, $$ \xi_t^\lambda = \exp \left\{ - \int_0^t \lambda_s \dd z_s - \frac 12 \int_0^T \lambda_s^2 \dd s \right\}, $$ que se utiliza en el enunciado del teorema de Girsanov (esta martingala representa la derivada de Radon-Nykodym $\frac{\dd \mathbb Q^\lambda}{\dd \mathbb P}$ .).

Ejercicio 2.4 del libro de Munk Teoría del precio de los activos financieros trata de aplicar el lema de Ito a este proceso.

Supongamos que $$ X_t = \frac 12 \int_0^t \lambda _s^2 \dd s + \int_0^t \lambda_s \dd z_s. $$ La parte (a) nos pide que argumentemos que $\dd X_t = \frac 12 \lambda_t^2 \dd t + \lambda_t \dd z_t.$ La parte (b) pregunta: "Supongamos que el proceso estocástico de tiempo continuo $\xi = (\xi_t)$ se define como $\xi_t = \exp\{-X_t\}$ . Demostrar que $\dd \xi_t = -\lambda_t \xi_t \dd z_t$ ."

Informalmente, podemos argumentar la parte (a) aplicando el lema de Ito, \begin {align*} \dd X_t &= \left ( \frac 12 \lambda_t ^2 + \lambda_t \dd z_t \right ) \dd t + \lambda_t \dd z_t \\ &= \frac 12 \lambda_t ^2 \dd t + \lambda_t \dd z_t, \end {align*} y argumentando que $\dd z_t \cdot \dd t = 0$ .

¿Cómo resolvemos la parte (b)?

Answer 1

$\newcommand{\dd}{\, \mathrm{d}}$ Si aplicamos el lema de Ito, entonces \begin {align*} \dd \xi_t &= - \xi_t \dd X_t + \frac 12 \xi_t ( \dd X_t)^2 \\ &= - \xi_t \left ( \frac 12 \lambda_t ^2 \dd t + \lambda_t \dd z_t \right ) + \frac 12 \xi_t \lambda_t ^2 \dd t \\ &= - \xi_t \lambda \dd z_t. \end {align*}